Problema di Goniometria

Sino al punto a)

Facciamo riferimento alla figura di sopra: la semicirconferenza ha centro nell'origine degli assi. Quindi 

x = 1/2·α essendo x angolo alla circonferenza ed α il corrispettivo angolo al centro.

Ρ [COS(α), SIN(α)]  con 0 ≤ α ≤ pi ed r = 1

Poi abbiamo:

Q [1, SIN(α)]

K [COS(α), 1]

Quindi la lunghezza dei due segmenti vale:

PK = 2 - SIN(α)

ΡQ = 1 - COS(α)

Per cui l'equazione da risolvere è:

(2 - SIN(α))/(1 - COS(α)) = 3/4

4·(2 - SIN(α)) = 3·(1 - COS(α))

8 - 4·SIN(α) = 3 - 3·COS(α)

3·COS(α) - 4·SIN(α) +5 =0

La risolvo tramite le formule parametriche:

t = TAN(α/2)

COS(α) = (1 - t^2)/(1 + t^2)

SIN(α) = 2·t/(1 + t^2)

3·(1 - t^2)/(1 + t^2) - 4·2·t/(1 + t^2) + 5 = 0

la moltiplico per 1 + t^2 ed ottengo:

3·(1 - t^2) - 4·2·t + 5·(1 + t^2) = 0

2·t^2 - 8·t + 8 = 0---> t^2 - 4·t + 4 = 0---> (t - 2)^2 = 0

quindi:

t = 2---> TAN(α/2) = 2 da cui:  x = ATAN(2)

(mentre α = 2·ATAN(2)= 2.214297435 rad= 126.87°)

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Seconda parte.

Riprendo:

PK = 2 - SIN(α)

ΡQ = 1 - COS(α)

con α = 2·x

per cui: y = ΡΚ + ΡQ = 3 - (SIN(α) + COS(α))

poniamo quindi

SIN(α) + COS(α) = Α·SIN(α + φ)

Α·SIN(α + φ) = Α·(SIN(α)·COS(φ) + SIN(φ)·COS(α))

Α·COS(φ) = 1

Α·SIN(φ) = 1

per cui TAN(φ) = 1----> φ = pi/4

Α·COS(pi/4) = 1---> Α = √2

Α·SIN(pi/4) = 1---> Α = √2

y = 3 - √2·SIN(α + pi/4)---> y = 3 - √2·SIN(2·x + pi/4)

0 ≤ x ≤ pi/2