[Risolto] Verifica di un limite

lim(x→3⁻) 1/(3-x) = +∞

 

1. Scrivi la definizione di limite corrispondente al caso in esame, cioè

∀M>0, ∃δ>0 | ∀x∈(x₀-δ,x₀) si ha f(x)>M

dove

x₀ = 3

(x₀-δ,x₀) è un generico intervallo a sinistra di 3.

A questo punto se è chiara la definizione l'esercizio è quasi risolto.

La definizione richiede l'esistenza del δ, quindi si tratta di dimostrare che tale δ>0 esiste.

Per dimostrare l'esistenza si parte dalla disequazione finale

f(x) > M

1/(3-x) > M  

Osserviamo che sia M che il termine (3-x) sono positivi (ricordiamo che x<3)

quindi

1/M > 3 - x 

x > 3 - 1/M

ecco che abbiamo trovato il nostro δ. 

δ = 1/M

 

 

Ripercorriamo la definizione.

Per ogni M>0 scelto esiste un δ > 0, che per noi risulta essere δ = 1/M tale che 

per ogni x che soddisfa

3-1/M < x < 3  (rappresenta l'intervallo sinistro)

si avrà

f(x) > M

 

NB. Tutta l'Analisi Matematica si basa sulla definizione di limite, purtroppo è tutt'altro che banale. Non a caso per formularla correttamente sono stati necessari 150 anni. E' necessario armarsi di buona volontà.

 

P.S. Ho letto il tuo commento relativo a 1/(x+4). Credo che la dimostrazione a cui fai riferimento si applica a limiti bilaterali. L'esercizio proposto fa riferimento, senza alcun dubbio, al limite sinistro; infatti

lim(x→3) 1/(3-x) = Non esiste.

Dobbiamo verificare che, preso K>0 grandissimo a piacere, esista in corrispondenza una ε > 0, piccolissima tale per cui per ogni x compresa 3-ε<x<3 (costituente un intorno sinistro di x=3) risulti sempre verificata la condizione:   {1/(3 - x) > K; K>0}

Quindi K>0----->3-x>0---->x<3

poi 1 > k·(3 - x)  ----->x > (3·k - 1)/k----->  x > 3 - 1/k

**************(3)----------->x

----------(3-1/k)***********>x

Soluzione: ]3-1/k;3[  basta prendere ε =1/k.

Guarda questo link, è semplice.

ciao