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[Risolto] Velocità sfere piena e vuota con momento di inerzia

  

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Due sfere hanno la stessa massa $m$ e lo stesso raggio $R$. Una sfera è piena, formata da un materiale di bassa densità, che occupa il suo intero volume; l'altra sfera è cava, formata da un materiale molto denso, che occupa quindi solo uno strato superficiale molto sottile (guscio sferico). Le due sfere sono lasciate scivolare giù da un piano inclinato di altezza $h$, con attrito sufficiente a farle rotolare senza strisciare.
Calcola le loro velocità in fondo al piano.

 

Vedi foto  

Usare energia cinetica di rotazione

N81

 

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Ciao di nuovo .

Ti finirò di rispondere dopo. Adesso devo uscire.

image

Caso sfera piena:

Μ·g·h = 1/2·Μ·v^2 + 1/2·2/5*M*r^2·ω^2

ma r^2·ω^2 = v^2, quindi:

Μ·g·h = 1/2·Μ·v^2 + 1/2·(2/5·Μ)·v^2

Μ·g·h = 7·v^2·Μ/10

risolvo:10·g·h - 7·v^2 = 0-------> v = √(10·g·h/7) 

Caso  guscio sferico:

Μ·g·h = 1/2·Μ·v^2 + 1/2·(2/3·Μ·r^2)·ω^2

Μ·g·h = 1/2·Μ·v^2 + Μ·v^2/3

Μ·g·h = 5·v^2·Μ/6------->v = √(6·g·h/5)

@lucianop 

Ti ringrazio 

Ho una domanda

Perchè per la sfera piena usi come momento di inerzia 2/5 mr^2 invece che 7/5 mr^2 visto che il rotolamento è lungo l'asse tangente e non il baricentro ?

@angie

Buongiorno. Il moto è pensabile come massa concentrata nel baricentro più moto rotatorio. D’altra parte è anche pensabile come rotazione della massa attorno al centro di istantanea rotazione che si trova in corrispondenza del punto di contatto della sfera. Se la pensi in quest’ultimo modo hai in effetti il solo contributo rotatorio che ti deve condurre allo stesso risultato.

@lucianop 

Grazie



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sfera omogenea 

J = 2/5mr^2

J/2*ω^2 = m/5*r^2*V^2/r^2 = m/5V^2

Ek = m/2*V^2+m/5V^2 = 0,70mV^2

mgh = 0,70mV^2 

la massa m "smamma"

V =  √g*h/0,7 = √14,0*h m/sec (3,74√h)

 

sfera cava 

J = 2/3mr^2

J/2*ω^2 = m/3*r^2*V^2/r^2 = m/3V^2

Ek = m/2*V^2+m/3V^2 = 5m/6V^2

mgh = 5m/6V^2 

la massa m "smamma"

V =  √1,2*g*h = √11,77*h m/sec (3,43√h) 

the hollow sphere always  loses 

 

 



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Scusami posso chiederti da quale testo hai tratto questo esercizio? Grazie mille 



Risposta
SOS Matematica

4.6
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