[Risolto] Velocità in seguito ad urto elastico con asta

Mi sembra di capire che $L$ è la lunghezza di tutta la sbarra e che essendo $0.4 L$ la distanza dal CM (che si può supporre essere al centro? Non abbiamo indicazioni su com'è la densità dell'oggetto non omogeneo...) abbiamo che la distanza tra il perno e l'estremo dell'asta sia $r= 0.4L+0.5L = 0.9L$.

Il momento angolare dell'urto è quello della sola pallina, il cui modulo, tenendo presente che l'urto avviene perpendicolarmente, è:

$ L_i = |p \times r| = Mv_0r = 0.9Mv_0L$

In seguito all'urto, la pallina si muoverà di velocità $v$ mentre l'asta comincerà a ruotare con velocitò angolare $\omega$ per cui il momento angolare finale sarà:

$ L_f = 0.9MvL + I\omega$

Il momento di inerzia dell'asta per il teorema di Huygens-Steiner è:

$ I = I_{CM} + Md^2 = I_{CM} + M(0.4L)^2$

dove 

$I_{CM}=\int_{V}\rho(V) r^2 dV$

Abbiamo quindi che il momento angolare deve conservarsi, cioé:

$0.9Mv_0L = 0.9MvL + I\omega$

D'altra parte deve conservarsi anche l'energia cinetica:

$ Mv_0^2 = Mv^2 + I \omega^2$ 

da cui, mettendo a sistema le due leggi di conservazione, ricaviamo che:

$ v = \frac{(0.9L)^2M -I}{(0.9L)^2M+I} v_0$

$\omega = \frac{2M(0.9L)^2}{(0.9L)^2M+I}$

Noemi