[Risolto] Valore per cui la funzione è definita

@mirea00

Ciao. Il radicando, cioè il trinomio di secondo grado che compare sotto radice

a·x^2 + b·x + c ; 

deve essere tale per cui risultino soddisfatte le 2 condizioni:

a>0 e Δ = b^2 - 4·a·c ≤ 0 (non interseca asse x oppure è tangente)

In tal caso il trinomio risulta sempre non negativo! Ora a=1>0 per il valore di Δ abbiamo:

3^2 - 8·k ≤ 0 da cui  k ≥ 9/8 

Solo per tali valori sei sicura che la funzione è definita su tutto l'asse delle x. Ciao.

@mirea00 @LucianoP
CONTESTO VIGOROSAMENTE SIA IL TUO "So che ..." CHE IL FATTO CHE LucianoP L'ABBIA PRESO PER BUONO.
Già una volta mi pare d'averti detto che le informazioni rilevanti le devi porre tutte all'inizio: nella domanda e non sparse qua e là nei commenti.
In questo caso è rilevante la frase
* «questo libro è solito porre domande in anticipo su argomenti che affronterà»
che dovrebbe far sorgere il dubbio "non sarà una domanda trabocchetto?".
Nella normale prassi didattica, che aumenta di severità dalle elementari all'Università (e il terzo superiore sta bello avanti!), se nell'interpretare il testo di un problema l'alunno/candidato pone ipotesi che generalizzano guadagna meriti, ma se ne pone che restringono il senso del testo guadagna penalità.
TU E LUCIANO QUESTO AVETE FATTO: avete arbitrariamente ristretto il senso letterale del testo.
La richiesta, così come l'hai trascritta fra virgolette, ha l'unica risposta corretta
* "PER OGNI VALORE DI k, ANCHE NON REALE."
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INFATTI ...
La funzione radicando è definita per ogni valore (reale o no) di x
* r(x, k) = x^2 + 3*x + 2*k
ed anche per ogni valore (reale o no) di k, in quanto polinomio nelle due variabili.
Anche la funzione in esame
* y = √(x^2 + 3*x + 2*k)
è definita ovunque nel dominio "D = {x} × {k}" (che non è affatto detto che sia R^2, in generale è C^2), in quanto potenza di una quantità definita ovunque.
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A mio parere è lecito darsi all'accademia solo DOPO avere fatto salva l'unica risposta corretta all'interpretazione letterale del testo, E NON INVECE.
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ACCADEMIA
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Se il testo dell'esercizio fosse stato
* « Determinare per quali valori del parametro "k" la funzione
* y = √(x^2 + 3*x + 2*k)
risulta definita REALE per ogni valore reale x. »
allora la risposta sarebbe consistita nella ricerca ed esclusione dei valori di k per i quali il trinomio è negativo (valori necessariamente reali, i complessi non si ordinano).
Poichè il trinomio è monico ha valore negativo solo fra gli zeri, perciò per soddisfare alla condizione del testo (di QUESTO testo!) occorre e basta che il discriminante rispetto ad x non sia positivo il che comporterebbe zeri reali distinti e quindi un intervallo fra di essi.
IN CONCLUSIONE
* Δ(k) = 9 - 8*k <= 0 ≡ k >= 9/8

Riprendo l'esercizio proposto per motivare ulteriormente la risposta che ho dato sopra, anche da un punto di vista geometrico- analitico.

Dico che la funzione irrazionale data: y = √(x^2 + 3·x + 2·k), per valori di k ≥ 9/8 rappresenta per K strettamente maggiore il ramo positivo di una iperbole con asse x=-3/2

Con l'= degenera nella funzione in modulo: y = ABS(2·x + 3)/2

Quindi per tali valori di k risulta essere definita per qualsiasi valore della variabile indipendente x!

P.S. per tale valore il radicando diventa: x^2 + 3·x + 9/4 = (2·x + 3)^2/4 per cui risulta quanto detto sopra.