[Risolto] Urti elastici

@belfi_17

Ciao. 

Urto perfettamente elastico

Facciamo riferimento alla figura seguente per evitare di portare avanti troppi indici:

In tale urto valgono la conservazione della quantità di moto e dell'energia cinetica del sistema.

η ed μ sono le nostre incognite.

Quindi scriviamo:

{m·v = m·η + m·μ

{1/2·m·v^2 = 1/2·m·η^2 + 1/2·m·μ^2

semplificando abbiamo quindi:

{v = η + μ

{v^2 = η^2 + μ^2

Ho messo in grassetto la prima in quanto deve valere vettorialmente.

Quindi la somma dei due vettori finali deve dare come risultante il vettore iniziale.

Ciò significa che la somma deve essere orientata nella direzione di v

Possiamo quindi dire che la seconda palla avrà una direzione rispetto di un angolo pari a α = 30° come in figura. Quindi possiamo dire che:

{4 = η·COS(60°) + μ·COS(30°)

{4^2 = η^2 + μ^2

Quindi:

{η/2 + √3·μ/2 = 4

{η^2 + μ^2 = 16

La soluzione del sistema è: [η = 2 m/s ∧ μ = 2·√3 m/s]

(quindi: [η = 2 m/s ∧ μ = 3.464 m/s] )

per tali valori possiamo verificare l'angolo α = 30° che deve essere tale per cui risulta:

η·SIN(60°) - μ·SIN(α°) = 0

infatti:

2·SIN(60°) - (2·√3)·SIN(α°) = 0

√3 - (2·√3)·SIN(α°) = 0------> SIN(α°) = √3/(2·√3) 

α° = 30°

 

In un urto elastico si deve conservare la quantità di moto e l'energia cinetica.

Conservazione  energia cinetica:

1/2 m v1'^2 + 1/2 m v2'^2 = 1/2 m v1^2

Semplificando:

v1'^2 + v2'^2 = 4,00^2;

BobOclat : la somma delle velocità elevate al quadrato ci dà la somma vettoriale al quadrato (4,00)^2, che è l'ipotenusa al quadrato. Non è il teorema di Pitagora? a^2 + b^2 = c^2?

Fra i vettori velocità vale il teorema di Pitagora, quindi fra v1' e v2' c'è un angolo retto;

Quindi v1' è a 60° rispetto all'orizzontale;

v2' forma un angolo 90° - 60° = 30° con l'orizzontale.

Q' = Q; conservazione della quantità di moto.

m v1' * cos60° + m v2' * cos30° = m v1;

0,5 v1' + 0,866 v2' = 4,00; (1)

v1'^2 + v2'^2 = 16,00; (2);

dalla (1) ricaviamo v1' e sostituiamo nella (2).

v1' = 8,00 - 1,732 v2';

(8,00 - 1,732 v2')^2 + v2'^2 = 16

64,00 + 3,0 v2'^2 - 27,7 v2' + v2'^2 = 16;

4,0 v2'^2 - 27,7 v2' + 48 = 0;

v2' = [27,7+-rad(27,7^2 - 4 * 48 * 4,0)] / (2 * 4,0);

v2' = [27,7 +- rad(0)] /8;

v2' = 27,7 / 8 = 3,46 m/s;

v1' = 8,00 - 1,732 v2' = 8,00 - 6,0 = 2 m/s;

v1' con angolo di  30°.

Ciao  @belfi_17