Un triangolo con un angolo 40° è inscritto in una semicirconferrnza di raggio 5 cm .Calcola perimetro e area del triangolo

Un triangolo con un angolo di 40° è inscritto in una semicirconferenza di raggio 5 cm. Calcola perimetro 2p  ed area A del triangolo 

La principale proprietà dei triangoli inscritti in una semicirconferenza è la seguente:

qualsiasi triangolo inscritto in una semicirconferenza è necessariamente un triangolo rettangolo la cui ipotenusa coincide con il diametro della stessa, causa l'angolo al centro di 180° che implica un angolo alla circonferenza di 90°.

dalla trigonometria si sa che :

AC = AB*cos 40° = 10*0,7660 = 7,660 cm

BC = AB*sin 40° = 10*0,6428 = 6,428 cm 

area A = AC*BC/2 = 7,660 * 6,428 /2 = 24,620 cm^2

perimetro 2p = AC+BC+AB  = 7,660+6,428+10 = 24,088 cm

Se il triangolo è inscritto in una semicirconferenza allora è un triangolo rettangolo, perché l'angolo alla circonferenza è retto, misura 90°;

L'ipotenusa AB è il diametro della circonferenza e misura 2r = 10 cm

i suoi angoli acuti sono complementari, la loro somma è 90°;

i due angoli misurano: A = 40°;    B = 90° - 40° = 50°; 

conosci la trigonometria? il seno di un angolo è il rapporto fra il cateto opposto e l'ipotenusa.

sen40° = BC / 10;

BC = 10 * sen40°;

BC = 10 * 0,643 = 6,4 cm; (cateto BC);

sen50° = AC / 10;

AC = 10 * sen50°;

AC = 10 * 0,766 = 7,7 cm; (cateto AC).

Perimetro = 10 + 6,4 + 7,7 = 24,1 cm;

i due cateti sono base e altezza del triangolo;

Area = AC * AB / 2 = 7,7 * 6,4 / 2 = 24,64 cm^2.

@mariapia1  ciao

C1=I*sen40=10*0,64=6,4      C2=Ipot. sen50 =10*0,77=7,7

Perim.=10+7.7+6.4=24,1cm     A=7.7*6.4/2=24,64cm2

Il triangolo ABC, rettangolo in C, inscritto in una semicirconferenza di raggio r ha lati
* 0 < a <= b < c = √(a^2 + b^2) = 2*r
ed angoli interni
* 0 < α <= β < γ = α + β = π/2 = 90°
con
* sin(α) = cos(β) = a/c = a/(2*r)
* sin(β) = cos(α) = b/c = b/(2*r)
* perimetro p = a + b + c = a + b + 2*r
* area S = a*b/2
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Dal sistema
* (sin(α) = a/(2*r)) & (cos(α) = b/(2*r)) ≡
≡ (a = 2*r*sin(α)) & (b = 2*r*cos(α))
si vede che il triangolo si risolve avendo il circumraggio r e l'angolo minore α.
* perimetro p = 2*(sin(α) + cos(α) + 1)*r
* area S = (2*r*sin(α))*(2*r*cos(α))/2 = 2*(sin(α)*cos(α))*r^2
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Questo è il caso dell'esercizio: con (r = 5 cm) & (α = 40°) si ha
* p = 2*(sin(40°) + cos(40°) + 1)*5 = 10*(sin(40°) + cos(40°) + 1) ~= 24.088 ~= 24.01 cm
* S = 2*(sin(40°)*cos(40°))*5^2 ~= 24.62019 ~= 24.6202 cm^2