Ci sono tre numeri reali a, b, c per i quali ab + bc + ac = 1
Dimostrare che a/rad(a^2+1) + b/rad(b^2+1) + c/rad(c^2+1) <= 3/2
L'ho fatto ( omettendo la verifica delle condizioni sufficienti che é onerosa computazionalmente )
ma voglio vedere se qualcuno di voi ha delle idee più efficienti della mia.
Buon lavoro.
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Livello 6
Obietto sull'ultima frase: in casi così l'augurio corretto è "Buon divertimento!", con l'esclamativo.
E anche sulla penultima: non credo che tu abbia potuto dimostrare ciò che hai scritto, perché i miei controlli preliminari lo danno per indimostrabile in quanto falso; forse hai trascurato di citare qualche vincolo? Secondo WolframAlpha 3/2 è un massimo relativo, non assoluto.
Vedi
Resto in attesa di precisazioni, buona notte e a domani.
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@EidosM
Riprendo con qualche sommessa osservazione di stupore:
1) non credo che si possa parlare di calcoli computazionalmente onerosi quando si dispone di software adatto (io uso intensamente WolframAlpha e, in rari casi, mi scrivo da me un po' di Python da usare al volo);
2) non capisco come abbiate fatto WolframAlpha a localizzare un massimo relativo in (1/√3, 1/√3, 1/√3) e tu a dire "ho dimostrato solo che é un punto stazionario": se la funzione è la somma di termini di forma "u/√(u^2 + 1)" sigmoide, con derivata "1/(u^2 + 1)^(3/2)" positiva ovunque, come si fa ad annullarne il gradiente?
Pertanto è con dispiacere (per il mio rimbambimento, mica per il tuo teorema!) che mi trovo costretto a dichiarare fallito il mio TENTATIVO DI DIMOSTRAZIONE prima ancora di iniziarlo: se non so più come trovare un punto stazionario non ha senso cercare di classificarlo senza sapere quale sia.
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Genius I
@exprof A rigore, svolgendo un'analisi al primo ordine, ho dimostrato solo che é un punto stazionario. Ma continuerò a sospettare che sia un massimo assoluto finché qualcuno non mi mostrerà una terna ammissibile che lo smentisca. La traccia poterebbe aver dimenticato di precisare "a>=0, b>=0, c>=0" ma non so se farebbe differenza.
@EidosM
Oh, sì che la fa! Una bella differenza
http://www.wolframalpha.com/input?i=maximize%28a%2F%E2%88%9A%28a%5E2--1%29--b%2F%E2%88%9A%28b%5E2--1%29--c%2F%E2%88%9A%28c%5E2--1%29%29where+ab--bc--ac%3D1%2Ca%3E%3D0%2Cb%3E%3D0%2Cc%3E%3D0
Ho la mattina quasi tutta impegnata da questioni sanitarie (sono le 10 e sono qui in una pausa fra le terapie del mattino; poi devo uscire per un controllo a pochi chilometri da qui e potrei metterci un paio d'ore, al massimo.), ma entro sera certamente mi farò vivo col mio tentativo di dimostrazione.
A più tardi.
@exprof La funzione di cui ho annullato il gradiente non é la f(a,b,c) ma é
g(a,b) = f(a,b,c(a,b)) con c ricavata dal vincolo. Aggiornamento : l'analisi delle derivate seconde condotta con Symbolab permette di concludere che (1/rad(3), 1/rad(3), 1/rad(3), 3/2) é un massimo relativo. Quello che non mi é chiaro é perché risulta assoluto solo sotto vincolo di non negatività di a,b,c.
@EidosM
Noi due ci combiniamo in una miscela esplosiva, io sono rimbambito e tu sei laconico: le informazioni ti si devono cavare "cu lli pampauddri" senza sapere in che zona andarle a pescare; e buona grazia che ogni tanto ne fai emergere una!
"li pampauddri" è il nome dell'arnese qui illustrato
http://ilparametro.altervista.org/it/li-pampauddri/?doing_wp_cron=1665675147.5979309082031250000000#jp-carousel-284
che si calava in pozzi profondi o cisterne buje (dove un semplice uncino non ce l'avrebbe mai fatta) per smucinare alla cieca cercando di ripescare cose cadute lì in fondo fuori vista, tipicamente il manico di una secchia la cui funicella logora non aveva retto il carico.
