Un foglio

(26-2x)*(42-2x) = 897

1092-52x-84x+4x^2 = 897

4x^2-136x+195 = 0

x = (136±√136^2-195*16)/8 = 1,50 cm (l'altra soluzione >13 è inaccettabile)

formula che da A = f(x) :

A = 1092+4x^2-136x  per 0 < x < 13 

Se x = 2, A = 1092+4*4-136*2 = 836 cm^2

(26 - 2x)*(42 - 2x) = 1092 - 52x - 84x + 4x^2 = 4x^2 - 136x + 1092

con 26 - 2x >= 0 => x <= 13,  x >= 0. 42 - 2x >= 0 => x <= 21

e quindi 0 <= x <= 13

S(2) = (26 - 2*2)*(42 - 2*2) = 22*38 = 836 cm^2

infine      4x^2 - 136x + 1092 = 897

4x^2 - 136x + 195 = 0

x = (68 +- sqrt (4624 - 780))/4 = (68 +- 62)/4 = 130/4 o 6/4

x = 65/2 é inaccettabile in quanto maggiore di 13

x = 3/2 = 1.5 cm é accettabile, compresa fra 0 e 13

la lunghezza orizzontale che posso stampare è data da $26 -2x$ (il $2x$ è dovuto al fatto che lascio un margine tanto a sinistra che a destra di $x$ cm)

in verticale sarà $(42-2x)$ per lo stesso motivo precedente (ovvero lascio un margine di x centimetri in alto e in basso).

L'area stampabile è l'area di un rettangolo di dimensioni $(42-2x)$ e $26 -2x$

$y=(26-2x)(42-2x)$

$y= 4x^2 -136x +1092$

il dominio della funzione "area regione stampabile" espressa dalla legge precedente è $[0;13]$ 

infatti 

$\begin{cases} 42-2x >=0 \\ 26-2x >=0 \\ x>=0 \end{cases}$

in maniera informale:

posso infatti stampare l'intero foglio senza lasciare margini (per $x=0$) e non posso superare il valore $x=13$ in quanto altrimenti supererei la lunghezza orizzontale del foglio (26 cm)

per $x=2$ ti basta sostituire 2 nella variabile indipendente della funzione sopra citata.

infine per ottenere una area di $897 cm^2$ ti basta sostituire $897$ nella variabile dipendente.

"la misura A dell'area della parte stampata" varia da zero per x pari a metà della dimensione minima (x = 26/2 = 13 cm) all'intera area del foglio (26*42 = 1092 cm^2) per x pari a zero e pertanto, "al variare della misura x del bordo", è una funzione monotòna decrescente da 1092 a zero (arco di parabola nel primo quadrante).
Simbolicamente si ha l'equazione
* A(x) = y = (42 - 2*x)*(26 - 2*x) = 4*(x - 13)*(x - 21) = 4*(x - 17)^2 - 64
che rappresenta, nel riferimento Oxy, una parabola con:
* asse parallelo all'asse y;
* apertura a = 4 > 0, qundi concavità verso y > 0;
* lunghezza focale f = 1/(4*|a|) = 1/16
* vertice V(17, - 64)
* fuoco F(17, - 1023/16)
* zeri X1(13, 0) oppure X2(21, 0)
* direttrice y = - 1025/16
a cui la natura del problema impone la condizione restrittiva
* (A(x) = y = 4*(x - 17)^2 - 64) & (0 < x < 13)
NOTA
Le diseguaglianze che delimitano l'intervallo di variazione del bordo DEVONO essere strette perché la situazione descritta in narrativa afferma la coesistenza sul foglio d'entrambe le aree: quella a stampa e quella di bordo.
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RISPOSTE AI QUESITI
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1) "Scrivi la formula che ..."
* (A(x) = y = 4*(x - 17)^2 - 64) & (0 < x < 13)
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2) "Indica il dominio della funzione"
* Il dominio della funzione "A: R → R" è l'intero asse reale.
* L'intervallo di variazione del bordo è 0 < x < 13.
NOTA
Sono due cose DIVERSE: la risposta dipende dalle parole che si usano.
IL RISULTATO ATTESO (D:[0;13]) E' DOPPIAMENTE ERRATO sia perché chiama "D" l'intervallo di variazione del bordo (errore linguistico), ma soprattutto perché lo considera intervallo chiuso (errore GRAVE sia di problem setting che di problem solving).
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3) "... quale valore essa assume per x= 2"
* (A(2) = y = 4*(2 - 17)^2 - 64) & (0 < 2 < 13) ≡
≡ (A(2) = y = 836) & (vero) ≡
≡ A(2) = 836 cm^2
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4) "Se si vuole che l'area sia 897 cm^2, quanto deve misurare?"
* (A(x) = y = 4*(x - 17)^2 - 64 = 897) & (0 < x < 13) ≡
≡ ((x - 17)^2 = (897 + 64)/4 = 961/4) & (0 < x < 13) ≡
≡ (x - 17 = ± √(961/4) = ± 31/2) & (0 < x < 13) ≡
≡ (x = 17 ± 31/2) & (0 < x < 13) ≡
≡ ((x = 17 - 31/2) oppure (x = 17 + 31/2)) & (0 < x < 13) ≡
≡ ((x = 3/2) oppure (x = 65/2)) & (0 < x < 13) ≡
≡ (x = 3/2) & (0 < x < 13) oppure (x = 65/2) & (0 < x < 13) ≡
≡ (x = 3/2) oppure (insieme vuoto) ≡
≡ x = 3/2