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Genius III
@lucianop $EHGI$ non è un trapezio. Se lo fosse, per definizione, avrebbe le basi parallele, ma non è possibile che $\overline{DG} \parallel \overline{EC}$, perché dato che $\widehat{DFG} \cong \widehat{EGC}$, se veramente le basi fossero parallele, allora $\widehat{FDG} \cong \widehat{GEH}$, ma questo significherebbe che $DFG$ è simile a $EGC$, cioè che $\overline{GC} : \overline{GF} = \overline{FD} : \overline{GE}$. Ma $\overline{GC} = \overline{GF}=\dfrac{\overline{AC}}{3}$, mentre $\overline{GE} = 2\overline{FD}$ (teorema di Talete), quindi si ottiene che $1=2$, assurdo.
@lucianop Il calcolo da fare richiede tanti passaggi che proverò a fare appena avrò un po' di tempo libero. La mia idea era quella di considerare un generico triangolo associato ad un sistema di assi cartesiani, A(0,0), B(b, 0) C(x(c), y(c)) oppure C(x(c),h) questo per riscrivere il triangolo.Poi applicherei la trisezione dei lati e dei punti in funzione di b e h. Troverei i generici punti del quadrilatero intersecando le varie rette. Note le coordinate dei vertici dello stesso quadrilatero calcolarne l'area col metodo/formula dei lacci di Gauss. Questo mi porterebbe ad avere un rapporto ben definito fra l'area del triangolo ricostruito S=bxh/2 e l'area del quadrilatero interno ad esso. Se tale rapporto vale k, allora varrà k anche il rapporto fra l'area del quadrilatero originale (pari a 640) e l'area del triangolo originale. Da qui risalirei al valore della sua area.
Sapendo che l'area del quadrangolo e 640 e quella del triangolo è 2700 il loro rapporto dovrà essere k=32/135.
Se qualche "anima buona" volesse confermare la mia ipotesi provare ad ottenere tale valore di k seguendo i miei suggerimenti, gli sarei mooolto grato perché mi risparmierebbe un sacco di tempo.
Ti ringrazio per l'osservazione che mi hai fatto. E' stata una mia svista.
@gregorius Sono riuscito a risolvere il problema senza trovare $k$ (anche perché non avrei idea da dove cominciare per trovare questo numero). Ti ringrazio tanto per avermi fatto scoprire il metodo dei lacci che prima non conoscevo, e che ho usato per risolvere questo problema. Purtroppo non mi viene in mente nessuna via puramente geometrica per risolvere questo problema.
angolo  = arctan 40/69 =30,10°
a = √90^2+120^2-2*90*120*cos(30,10°) = 61,75 cm
cx = 120*sin 30,10 = 60,18 cm
BX = √61,75^2-60,18^2 = 13,84 cm
coordinate di C = (103,84 ; 60,18)
area ABC = 60,18/2*103,84 = 2.708,1 cm^2
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Genius III
C'è un piccolo problema: a priori non conosci la posizione di C. Buona notte amico mio! 😉
$\huge{\textit{\textbf{SOLUZIONE}}}$
Prendo spunto da @gregorius per la soluzione, che mi ha illuminato con l'esistenza del metodo dei lacci.
Riportiamo il triangolo $ABC$ su un piano cartesiano in cui $A(0,0)$, $B(90,0)$, $C(x_c,y_c)$ sono i vertici del triangolo, con $(x_c,y_c)$ tali che $x_c^2+y_c^2=120^2$.
Si individuano facilmente i punti di trisezione dei lati $\overline{AB}$ e $\overline{AC}$:
$D(30,0),\ E(60,0),\ F \left (\dfrac{x_c}{3},\dfrac{y_c}{3} \right ),\ G \left (\dfrac{2}{3}x_c, \dfrac{2}{3}y_c \right )$.
Le rette passanti per $\overline{FE},\ \overline{DG},\ \overline{EC},\ \overline{BG}$ si possono trovare con l'equazione di una retta passante per due punti. Ti risparmio i calcoli, alla fine risulta che:
$\overline{FE}:\ y_cx+y(180-x_c)-60y_c=0$
$\overline{DG}:\ y_cx+y(45-x_c)-30y_c=0$
$\overline{EC}:\ y_cx+y(60-x_c)-60y_c=0$
$\overline{BG}:\ y_cx + y(135-x_c)-90y_c=0$
Si trova $I= \overline{FE} \cap \overline{DG}$, e $H=\overline{BG} \cap \overline{EC}$.
Si risolve il seguente sistema per trovare le coordinate di $I$:
$\begin{cases} y_cx+y(180-x_c)-60y_c=0 \\ y_cx+y(45-x_c)-30y_c=0 \end{cases}$
E questo per trovare le coordinate di $H$:
$\begin{cases} y_cx + y(135-x_c)-90y_c=0 \\ y_cx+y(60-x_c)-60y_c=0 \end{cases}$
Dei semplici calcoli portano a scoprire che:
$I=\left (20 + \dfrac{2}{9}x_c, \dfrac{2}{9} y_c \right )$, e $H= \left (36 + \dfrac{2}{5}x_c, \dfrac{2}{5} y_c \right )$.
Abbiamo individuato tutti i punti del quadrilatero $EGHI$, possiamo applicare il metodo dei lacci per ricavare una nuova relazione tra $x_c$ e $y_c$:
Percorrendo da $G$ i vertici del quadrilatero in senso antiorario, indichiamo:
$G(X_1,Y_1),\ I(X_2, Y_2),\ E(X_3,Y_3),\ H(X_4,Y_4)$, quindi:
$\displaystyle{\mathcal{A}_{EHGI}=\dfrac{1}{2} \left | X_4Y_1+\sum_{n=1}^{3}X_nY_{n+1} - Y_4X_1 -\sum_{n=1}^{3} X_{n+1}Y_n \right |}=640$.
Sostituendo i valori noti, alla fine si semplificano i termini in $x_c$, e si trova che:
$\left | \dfrac{64}{3}y_c \right | = 1280 \implies y_c=60$.
Considerando la base $\overline{AB}$ del triangolo, l'altezza condotta da $C$ corrisponde alla distanza punto-retta tra $C$ e $\overline{AB}$. Dato che $\overline{AB}$ nel piano cartesiano giace su $y=0$, concludiamo che $h=|y_c-0|=y_c=60$.
In definitiva:
$\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{1}{2} \overline{AB} h = \dfrac{1}{2} \cdot 90 \cdot 60=2700$.
$\huge{\textit{\textbf{SUPPLEMENTO}}}$
Avendo ricavato $y_c$, si ricava che $x_c=\sqrt{120^2-60^2}=60\sqrt{3}$, quindi alla fine si possono determinare gli altri punti sul piano cartesiano che in precedenza erano stati indicati in funzione di $(x_c,y_c)$:
$C(60\sqrt{3}, 60)$
$F(20\sqrt{3},20)$
$G(40\sqrt{3},40)$
$H(36+24\sqrt{3},24)$
$I \left (20+\dfrac{40}{3} \sqrt{3}, \dfrac{40}{3} \right)$
Troviamo gli angoli $\alpha,\ \beta,\ \gamma$ e il lato $\overline{BC}$:
$\dfrac{1}{2} \overline{AB} \cdot \overline{AC} \sin(\alpha)= 2700 \implies \sin(\alpha)=\dfrac{1}{2} \implies \alpha = 30^{\circ}$ (escludo la possibilità che $\alpha = 150^{\circ}$ dal teorema lato maggiore angolo maggiore)
Dal teorema del coseno:
$\overline{BC}^2=\overline{AB}^2+\overline{AC^2}-2\overline{AC}\cdot \overline{AB}\cos(\alpha)$
Facendo i calcoli:
$\overline{BC}=30\sqrt{25-12\sqrt{3}}$
Dal teorema dei seni:
$\dfrac{\overline{AC}}{\sin(\beta)}=\dfrac{\overline{BC}}{\sin(\alpha)} \implies \sin (\beta)=\dfrac{2}{\sqrt{25-12\sqrt{3}}} \implies \beta \approx 103^{\circ}$
Per differenza degli angoli interni troviamo che $\gamma \approx 47^{\circ}$.
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Livello 3
@gabo Ottima soluzione, anche più semplice della mia che prevedendo la trasformazione di un triangolo in uno affine, per semplificare i calcoli numerici, ti ha poi evitato di dover trovare la costante di proporzionalità fra le due figure, l'originale e l'affine. Sono felice due volte.
In primis perchè, ora anche tu conosci il metodo dei lacci, (noi ingegneri lo applichiamo spesso nella misura dei terreni, note le coordinate dei vertici. Fra addetti al lavoro è chiamato, prosaicamente "il metodo dell'agrimensore") . Chissà, forse un giorno, potrà, esserti di pratica utilità , se mai diventassi un ingegnere anche tu.
In secundis, "last but not least", perchè scrivendo la tua ottima soluzione mi hai risparmiato la "faticaccia" di fare tutti quei conti. Bravo, bravissimo @gabo. Con stima, Gregorius
@gregorius Sono piacevolmente stupito dal fatto che esista un metodo così semplice per calcolare le aree di poligoni note le coordinate (per niente sorpreso che sia di Gauss però), quindi anche se non dovessi mai usarlo praticamente, rimango felice di questa scoperta. Grazie come sempre per i complimenti, tantissima stima anche per te, che sei incredibilmenre eclettico.