Dato un triangolo $A B C$, costruisci sui tre lati, esternamente al triangolo, i quadrati $A B H K, B C L M$ e $A C N P$. Congiungi $H \operatorname{con} M, L \operatorname{con} N, P$ con $K$ e dimostra, utilizzando la trigonometria, che i triangoli $A K P$, BMH e CNL sono equivalenti.
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Livello 1
Il problema si risolve facilmente osservando che, per costruzione, ognuno dei tre triangoli richiesti è equivalente al triangolo dato (qualsiasi) in quanto gli angoli indicati in figura con :
α' ed α''; β' e β''; γ' e γ'' sono coppie di angoli supplementari fra loro
Quindi il seno dei loro angoli, per definizione è lo stesso.
Questo comporta una uguale area espressa da:
S=1/2·b·c·SIN(α') = b·c·SIN(α'')/2= area del triangolo dato ABC
Analoghe considerazioni per gli altri triangoli.
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Genius III
