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A risorse limitate Una popolazione di piante acquatiche cresce in un ambiente con risorse limitate. Il modello di crescita in funzione del tempo, misurato in settimane, è espresso dalla funzione

$$
N(t)=10\left(4-\frac{140}{t^2+40}\right)
$$

dove $N$ indica il numero delle piante dopo $t$ settimane.
a. Verifica che $N(t)$ è una funzione crescente.
b. Verifica, mediante la definizione, che $\lim _{t \rightarrow+\infty} N(t)=40$.
c. Dopo quante settimane il numero delle piante supera i 30 esemplari?
[c) 10 settimane]

20240917 124445
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1 Risposta



2

a) svolgo per via qualitativa ( senza le derivate )

osservando che N(t) é composta di funzioni monotone.

Passo - passo si ha

 

N(t) = 10( 4 - 140/(t^2 + 40)) t >= 0

se t aumenta

t^2 aumenta

t^2 + 40 aumenta

1/(t^2 + 40) diminuisce

140/(t^2 + 40) diminuisce

4 - 140/(t^2 + 40) aumenta

N(t) aumenta

 

b) e c) svolgo più tardi

 

b) Si deve verificare che fra le soluzioni di

|f(x) - L| < eps

c'é un intorno di +oo

 

| 40 - 1400/(t^2 + 40) - 40 | < eps

1400/(t^2 + 40) < eps

t^2 + 40 > 1400/eps

e dovendo essere t >= 0

t > sqrt (1400/eps - 40)

che é un intorno di +oo, come richiesto.

 

c) 10 (4 - 140/(t^2 + 40)) > 30

4 - 140/(t^2 + 40) > 3

4 - 3 > 140/(t^2 + 40)

140/(t^2 + 40) < 1 t^2 + 40 > 140

t^2 > 100   che con t >= 0 significa

t > 10.

 

Dieci settimane.

Un grafico, anche semplice, renderà tutto chiaro.

https://www.desmos.com/calculator/1izjp207t0

@eidosm grazie mille sempre per la tua disponibilità



Risposta
SOS Matematica

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