[Risolto] Dimostrazione di geometria

Se tracci la parallela per P ad AB, e dunque anche a DC, per il teorema del fascio di parallele

puoi scrivere PK : PH = PD : PA

i triangoli PDC e PAB sono simili perchè condividono l'angolo in P, A^ e D^ sono congruenti

perchè corrispondenti formati dalle rette parallele AB e DC tagliate dalla trasversale AP

e B^ = C^ per identico motivo ma la trasversale è PB.

Essendo i lati omologhi proporzionali risulta anche PD : PA = DC : AB

Confrontando con la proporzione precedente e applicando la proprietà transitiva all'uguaglianza dei rapporti segue la tesi

PK : PH = DC : AB

Ciao, la dimostrazione dipende da quali strumenti puoi usare. Io ti propongo il seguente ragionamento, ma può darsi che chi ti ha dato l'esercizio voglia che tu usi altri strumenti. in ogni caso io prenderei in considerazione i triangoli ABP e DCP. È molto facile varificare che sono fra loro simili, in quanto hanno in comune l'angolo in P e inoltre il segmento PB viene tagliato da due segmenti paralleli DC e AB, formando quindi altri due angoli (quello in C e quello in B) anch'essi congruenti. il terzo angolo è necessariamente congruente dato che la somma degli angoli interni di ogni triangolo deve essere 180 gradi. Una volta che hai detto che i due triangoli sono simili, allora i loro lati e le rispettive altezze sono tutti in proporzione fra loro e quindi in particolare il rapporto fra le basi DC:AB è necessariamente uguale al rapporto fra le altezze PK:PH.