Come si dimostra che f integrale per Darboux in [a,b] è integrabile per la definizione di integrale improprio in [a,b) e che i due integrali coincidono?
Come si dimostra che f integrale per Darboux in [a,b] è integrabile per la definizione di integrale improprio in [a,b) e che i due integrali coincidono?
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Livello 7
Dovresti specificare meglio la domanda. Ti dico cosa ho inteso.
SIa f(x) una funzione Darboux integrabile (ovvero Riemann integrabile) in [a, b] a valori reali.
Consideriamo l'integrale improprio di tale funzione definito in [a, B] ⊂ [a, b] (con B < b) allora l' integrale improprio è per definizione
$ \displaystyle\lim_{B \to b} \int_a^B f(x) \, dx $
Si vuole dimostrare che
$ \displaystyle\lim_{B \to b} \int_a^B f(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx $
Occorre ricordare che la funzione integrale è una funzione lipschitziana quindi continua. L'uguaglianza è così verificata.
Tieni presente che in Darboux la funzione DEVE essere limitata, cosa non affatto verificata per gli integrali impropri, anzi.
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