[Risolto] Trovare asintoti obliqui funzione

y=x+e^x

 

Dominio = ℝ

 

Asintoti

 

• lim(x→-oo) f(x) = -oo

Potrebbe essere presente un asintoto obliquo. Determiniamone i parametri m e q

m = lim(x→-oo) y(x)/x = lim(x→-oo) x/x + e^x/x = 1+0 = 1

q = lim (x→-oo) y(x) -x = lim(x→-oo)  e^x = 0

Siamo in presenza di un asintoto obliquo sinistro di equazione y=x

 

• lim(x→+oo) f(x) = +oo 

Potrebbe essere presente un asintoto obliquo anche se la presenza di una crescita esponenziale depone male. 

Determiniamone i parametri m e q

m = lim(x→+oo) y(x)/x = lim(x→+oo) x/x + e^x/x = 1++oo = +oo

Nessun asintoto obliquo sul lato destro.

Per trovare gli asintoti obliqui di una funzione f(x) bisogna osservare il limite a +inf e a -inf di f(x)/x

Notiamo subito che f(x)/x può essere divisa in modo da diventare: (x+e^x)/x = 1 + (e^x /x) 

A +inf il limite risulta 1+ infinito quindi non esiste asintoto obliquo

A -inf il limite diventa 1+0= 1 quindi qui abbiamo un asintoto obliquo con m=1

Ora dobbiamo trovare q facendo il limite a -inf di f(x)-mx

Quindi abbiamo x + e^x - x = e^x

A -inf abbiamo q=0

In conclusione questa funzione ha un asintoto obliquo per x-->-inf di equazione  y=x

Gli asintoti obliqui, se esistono, sono rette non parallele a un asse coordinato: quindi possono esistere solo se la funzione all'infinito diverge
* lim_(x → - ∞) x + e^x = - ∞
* lim_(x → + ∞) x + e^x = + ∞
Assodato così che POSSONO esistere nella forma
* y = m*x + q
se ne devono cercare pendenze m e intercette q: se non si trovano, ahinoi, niente asintoto!
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La pendenza m si ricava da
* y = m*x + q ≡ m = (y - q)/x
e non dev'essere né zero né infinito
* lim_(x → - ∞) (x + e^x - q)/x = 1
* lim_(x → + ∞) (x + e^x - q)/x = + ∞
Quindi non può esistere un asintoto obliquo destro, ma ne esiste uno sinistro.
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L'intercetta q si ricava da
* y = m*x + q ≡ q = y - m*x = y - 1*x = y - x
e può essere un qualsiasi valore reale
* lim_(x → - ∞) x + e^x - x = lim_(x → - ∞) e^x = 0
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RISPOSTA
La funzione
y = x + e^x
non ha asintoto obliquo per "x → + ∞", ma per "x → - ∞" tende alla bisettrice dei quadranti dispari.