I punti $A(5 ; 5)$ e $A^{\prime}(-1 ; 7)$ si corrispondono in una simmetria assiale. Trova le equazioni della simmetria, il trasformato del punto $B(1 ; 2)$ e l'area del quadrilatero $A A^{\prime} B^{\prime} B$.
$$
\left[\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=-\frac{4}{5} x+\frac{3}{5} y \\
y^{\prime}=\frac{3}{5} x+\frac{4}{5} y
\end{array} ; B^{\prime}\left(\frac{2}{5} ; \frac{11}{5}\right) ; \frac{143}{10}\right\}\right.
$$
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punti
Livello 0
I punti A(5, 5) e A'(- 1, 7) si corrispondono in una simmetria assiale.
Trova
* le equazioni della simmetria
* il trasformato del punto B(1, 2)
* l'area del quadrilatero AA'B'B.
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La simmetria rispetto all'asse y = m*x + q è data da
* x' = (2*m*y - (m^2 - 1)*x - 2*m*q)/(m^2 + 1)
* y' = (2*m*x + (m^2 - 1)*y + 2*q)/(m^2 + 1)
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Il segmento AA', lungo 2*√10, ha punto medio M(2, 6) e giace sulla y = (20 - x)/3 di pendenza m = - 1/3.
Pertanto il suo asse, asse della simmetria, è la retta di pendenza tre per M
* y = 3*x
da cui
* (x' = (3*y - 4*x)/5) & (y' = (3*x + 4*y)/5)
che, applicate a B(1, 2), danno
* B'((3*2 - 4*1)/5, (3*1 + 4*2)/5) = (2/5, 11/5)
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Il segmento BB', lungo √10/5, ha punto medio N(7/10, 21/10) e giace sulla y = (7 - x)/3 di pendenza m = - 1/3; in quanto parallelo ad AA' forma con esso un trapezio di area S pari al prodotto fra l'altezza
* h = |MN| = 13/√10
e la media delle basi
* m = (2*√10 + √10/5)/2 = 11/√10
cioè
* S = h*m = (13/√10)*11/√10 = 143/10
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Verifica e grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=polygon%285%2C5%29%28-1%2C7%29%282%2F5%2C11%2F5%29%281%2C2%29area
57798
punti
Genius I
Mi sono trovato prima le formule della simmetria assiale imponendo le condizioni, poi conoscendo A e A' ho calcolato m e q.
Trovate le equazioni della simmetria puoi trovare B' e poi l'area del quadrilatero AA'B'B
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Livello 2
