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Trigonometria - circonferenza insceitta e circoscritta

  

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L'ampiezza dell'angolo al vertice di un triangolo isoscele è 120°. Calcola il rapporto fra il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo e il raggio di quella inscritta.

 

Risultato: {[2*(2*radq(3)+3)]/3}

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3 Risposte



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image

@remanzini_rinaldo fantastico, grazie infinite! 😊



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Se il lato obliquo é L

b/2 = L sin 120°/2

b = 2 L rad(3)/2 = L rad 3

h = L cos 60° = L/2

P = 2 L + L rad 3 = L (2 + rad(3))

S = L/2 rad(3) + L/2 = L^2/4 rad(3)

R/r = abc/(4S) : 2S/P = abcP/(8S^2) =

= L^2 * L rad(3) * L (2 + rad(3))/(8 L^4/16 * 3) =

= (3 + 2 rad(3))*2/3 =

= 2(2 rad(3) + 3)/3 =

= 2 + 4/3 rad(3)

@eidosm cos’è b? 
Puoi fare riferimento al mio disegno se vuoi (sperando sia corretto).

IMG 3889

@eidosm anche non capisco chi siano P e S

b é la base, CB nel tuo disegno

a = c = L

P é il perimetro, S é l'area (superficie )

@eidosm percetto grazie mille 😊



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Triangolo
L'inraggio r = 2*S/(a + b + c) è il rapporto fra area S e semiperimetro p/2 = (a + b + c)/2.
Il circumraggio R = a*b*c/(4*S) è il rapporto fra il prodotto dei lati e il quadruplo dell'area.
Il rapporto richiesto è
* R/r = (a + b + c)*a*b*c/(8*S^2)
Triangolo isoscele
Con base b, lato obliquo L, area S = b*√(4*L^2 - b^2)/4, si ha
* R/r = 2*L^2/(b*(2*L - b))
Triangolo isoscele con angolo al vertice di 120°
Ottenuto giustapponendo per un lato due triangoli equilateri speculari di lato L e smezzando il rombo risultante sulla diagonale maggiore, lunga b = L*√3. Quindi
* R/r = 2*L^2/((L*√3)*(2*L - L*√3)) = 2*(3 + 2*√3)/3 = 2*(1 + 2/√3)

@exprof grazie mille, sinceramente mi sa mi mancava i teoremi del raggio inscritto e circoscritto a un triangolo che esprime quelle due formule, me li sono appena andati a rivedere e ora è finalmente più chiaro, grazie ancora 😊



Risposta
SOS Matematica

4.6
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