[Risolto] trigonometria

Vincoli geometrici per l'angolo: 0<x<60°

Un invito a scrivere correttamente i post perché se no fai perdere tempo a noi responsori.

Contesto la scrittura della soluzione: è 12·COS(x)^2 - 5·COS(x) - 3 = 0

Contesto il fatto che debba essere AC+AB=72 cm, ma invece è:

AC+BC= 72 cm

Come dimostra la figura allegata:

La bisettrice CS del triangolo ABC misura 20 cm e forma con AB un angolo ASC=2pigreco/3. Calcola la misura dell’angolo ACB sapendo che AC+BC=72 cm.

(Suggerimento:

ponendo angolo ACB=2x; si giunge all’equazione 12·COS(x)^2 - 5·COS(x) - 3 = 0)

Applichiamo il teorema dei seni ai due triangoli ACS e BCS:

20/SIN(α) = b/SIN(2·pi/3)

SIN(α) = SIN(pi - 2·pi/3 - x) = SIN(pi/3 -x)

SIN(pi/3 - x) = SIN(pi/3)·COS(x) - SIN(x)·COS(pi/3)= √3·COS(x)/2 – SIN(x)/2

SIN(2·pi/3) = √3/2

b = 20/(√3·COS(x)/2 – SIN(x)/2)·(√3/2)

b = 20·√3/(√3·COS(x) - SIN(x))

----------------------------------------

20/SIN(β) = a/(√3/2)

20/SIN(2·pi/3 - x) = a/(√3/2)

SIN(2·pi/3 - x) = √3·COS(x)/2 + SIN(x)/2

a = 20/(√3·COS(x)/2 + SIN(x)/2)·(√3/2)

a = 20·√3/(√3·COS(x) + SIN(x))

---------------------------------------

b + a = 72

20·√3/(√3·COS(x) - SIN(x)) + 20·√3/(√3·COS(x) + SIN(x)) - 72 = 0

posto: (√3·COS(x) - SIN(x))·(√3·COS(x) + SIN(x)) ≠ 0

4·COS(x)^2 - 1 ≠ 0 si ha

20·√3·(√3·COS(x) + SIN(x)) + 20·√3·(√3·COS(x) - SIN(x)) - 72·(4·COS(x)^2 - 1) = 0

(60·COS(x) + 20·√3·SIN(x)) + (60·COS(x) - 20·√3·SIN(x)) - (288·COS(x)^2 - 72) = 0

- 288·COS(x)^2 + 120·COS(x) + 72 = 0

GCD(288, 120, 72) = 24

(- 288·COS(x)^2 + 120·COS(x) + 72 = 0)/(-24)

12·COS(x)^2 - 5·COS(x) - 3 = 0

COS(x) = t

12·t^2 - 5·t - 3 = 0 risolvo: t = 3/4 ∨ t = - 1/3

soluzione in grassetto

COS(x) = 3/4----- > x = 0.7227342478 in radianti

In gradi:

0.7227342478/ = x/180 ---- > x = 41.4096221°