[Risolto] Trigonometria

Cerchiamo di esprimere la relazione

$ \frac{AH+AP}{BH} = \frac{PH}{AH}$

in funzione dell'angolo $AHP=x$.

Notiamo subito che essendo $AB=a$ e $B=30°$, possiamo calcolare:

$ AH = AB sin30 = \frac{a}{2}$

$ BH = AB cos30 = \frac{\sqrt{3}}{2} a$

Notiamo inoltre che l'angolo CAH è 30° per la somma degli angoli interni di un triangolo (in ACH l'angolo C è 60° e H è retto). 

Dunque l'angolo $HAP=60°$ essendo complementare di CAH e $APH = 180 - 60 - x = 120 -x$.

Per il teorema dei seni nel triangolo AHP:

$\frac{AP}{sinx} = \frac{AH}{sin(120-x)}$

da cui

$ AP = \frac{a}{2} \frac{sinx}{sin(120-x)}$

Analogamente:

$\frac{PH}{sin60} = \frac{AH}{sin(120-x)}$

da cui

$ PH = \frac{a}{2} \frac{sin60}{sin(120-x)} = \frac{ a \sqrt{3}}{4 sin(120-x)}$

Sostituendo tutto nella relazione iniziale:

$ \frac{AH+AP}{BH} = \frac{PH}{AH}$

$ \frac{ \frac{a}{2}+\frac{a}{2} \frac{sinx}{sin(120-x)}}{ \frac{\sqrt{3}}{2} a} = \frac{\frac{ a \sqrt{3}}{4 sin(120-x)}}{\frac{a}{2}}$

Cominciamo col fare un mcm:

$ \frac{a}{2}(\frac{a}{2}+\frac{a}{2} \frac{sinx}{sin(120-x)}) = (\frac{ a \sqrt{3}}{4 sin(120-x)})( \frac{\sqrt{3}}{2} a)$

semplificando tutte le $a$ e moltiplicando:

$\frac{1}{4} + \frac{sinx}{4sin(120-x)} = \frac{3}{8 sin(120-x)}$

mcm:

$ 2sin(x-120) + 2sinx = 3$

Usiamo le formule di sottrazione del seno:

$ 2[sinxcos120 - cosxsin120] + 2sinx = 3$

e calcolando gli angoli noti:

$ 2[-\frac{1}{2}sinx - \sqrt{3}{2}cosx] +2sinx = 3$

$ - sinx - \sqrt{3}cosx +2sinx = 3$

$ sinx - \sqrt{3} cosx = 3$

Questa è un'equazione lineare che si può risolvere in vari modi (parametriche, angolo associato, circonferenza goniometrica)... però non mi pare che ammetta soluzioni !