Una semicirconferenza ha diametro $\overline{A B}=4$ e la corda $\overline{B C}=2$. Sia $P$ un punto dell'arco $\overparen{A C}$. Considera $D$ la sua proiezione sulla tangente in $A$ ed $E$ quella su $A C$. Poni $\widehat{P A C}=x$ e determina la funzione
$$
f(x)=\overline{P D}+2 \overline{P E} .
$$
Rappresenta il grafico di $f(x)$ e indica per quali valori di $x$ si ha $f(x)=\frac{9}{2}$.
$$
[f(x)=\sqrt{3} \sin 2 x+3 \cos 2 x ; \nexists x \in R ]
$$
53
punti
Livello 1
Il triangolo ABC è quindi rettangolo con angoli di 30 e 60 gradi, poiché la corda BC (cateto) risulta essere la metà del diametro della semicirconferenza (ipotenusa). BC risulta quindi il cateto opposto all'angolo di 30 gradi e BC il cateto opposto all'angolo di 60 gradi.
PA = 4*sin(60 - x)
PE = 4*sin(60 - x) * sin (x)
PD = PA*sin(60 - x) = 4*sin²(60 - x)
Quindi:
f(x) = PD + 2*PE = 4*sin(60-x)*[sin(60-x) + 2*sin x] =
= (radice 3 *cos x - sin x) (radice 3 * cos x + 3*sin x) =
= 3*cos² x - 3*sin² x + 2*radice (3)* sin x*cos x =
= radice 3 * sin (2x) + 3 * cos(2x) = 2 radice (3) * [(1/2)*sin (2x) + (1/2) *radice (3) * cos(2x)]
Quindi:
f(x) = radice (3)*sin(2x) + 3*cos(2x) = 2*radice (3) * cos [(pi/6) - 2x]
La funzione assume valore massimo 2*radice 3, quindi:
f(x) = 9/2 => non esistono x€R
75846
punti
Genius II
