Trigonometria

La somma dei 4 angoli deve essere 360°

Uso il teorema di Carnot

AD^2 = 32 => AD = 4 RAD(2)

Applicazione del Th della corda

Facciamo riferimento alla figura allegata sopra

ΑΒ = 4 ; r = 4

ΑΒ = 2·r·SIN(γ°)

2·4·SIN(γ°) = 4---> SIN(γ°) = 1/2----> γ° = 30°

ΒC = 4·√3 ; r = 4

ΒC = 2·r·SIN(α°)

8·SIN(α°) = 4·√3---->SIN(α°) = 4·√3/8= √3/2----> α = 60°

Quindi facendo riferimento al triangolo ABC deve essere rettangolo con β = 90°

AC risulta quindi diametro della circonferenza di raggio 4.

CD = 4·√2 ; r = 4

CD = 2·r·SIN(δ°)

2·4·SIN(δ°) = 4·√2----> SIN(δ°) = 4·√2/8 = √2/2 ----> δ = 45°

Ne consegue che il triangolo ACD di figura è un triangolo rettangolo isoscele con lati:

AD= CD= 4·√2

perché inscritto in una semicirconferenza di diametro AC.

Abbiamo quindi:

Angolo in A= 60°+45°=105°

Angolo in B=90°

Angolo in C = 30°+ 45° = 75°

Angolo in D=90°

un quadrilatero  è inscrivibile in una circonferenza se e solo se gli angoli opposti sono supplementari, la loro somma è 180°;

A + C = B + D = 180°;

raggio r = 4; i vertici distano 4 dal centro O;

lato AB = 4;  AO = 4;  BO = 4 ;

triangolo AOB: 

AOB = triangolo equilatero, con angoli congruenti di 60°

l'angolo al centro AOB = 60°; 

triangolo isoscele DOC:

lato DC = 4 radice(2); il triangolo DOC è isoscele con lati obliqui r = 4; l'angolo al centro DOC è retto perché il

lato DC = 4 radice(2) è l'ipotenusa,  è la diagonale di un quadrato di lato 4;

infatti DC = radicequadrata(4^2 + 4^2) = radice(2 * 4^2) = 4 radice(2);

nel triangolo isoscele DOC gli angoli alla base misurano 45° ; 

DOC è rettangolo;

Sommiamo i due angoli al centro

AOB + DOC = 60° + 90° = 150°;  allora  AOD + BOD = 360° - 150° = 210°;

triangolo isoscele  BOC:

lato BC = 4 radice(3); troviamo l'angolo al centro  BOC; 

 BOC /2 = BOH; (angolo)

BH = 4radice(3) /2 = 2 radice(3);  OB = r

sen(BOH) = BH / OB = [2radice(3)] / 4 = radice(3) / 2;

BOH = arcsen[radice(3) / 2] = 60°; metà angolo; 

BOC = 2 * 60° = 120°;

il triangolo isoscele BOC ha gli angoli alla base che misurano (180° - 120°) / 2 = 30°;

Triangolo AOD: 

angolo al centro:

AOD = 210° - 120° = 90°; retto; 

il triangolo isoscele AOD è retto in O; AOD è rettangolo, quindi gli angoli alla base misurano 45° ;

angolo in A = 60° + 45° = 105° ;

angolo in B = 60° + 30°= 90°;

angolo in C = 45° + 30° = 75°;

angolo in D = 45° + 45° = 90°;

Lato AD = ipotenusa;

AD = radice(4^2 + 4^2) = 4 radice(2).

ciao @luigibus

le misure dei tuoi angoli non sono corrette. 

triangolo ABO equilatero 

angoli OAB, OBA ed AOB = 60°

teorema di F. Viète (a.k.a. teorema del coseno)

16*3 = 4^2+4^2-2*16*cos BOC

48-32 = -32*cos BOC

cos BOC = -1/2

BOC = 120°

OBC ed OCB = 30°

16*2 = 4^2+4^2-2*16*cos DOC

32-32 = -32*cos DOC

cos DOC = 0

DOC = 90°

OCD ed ODC = 45°

triangolo AOD = triangolo COD per avere lo stesso angolo in O pari a 90°

AD = CD = 4√2

angolo A = 60+45 = 105°

angolo B = 60°+30° = 90°

angolo C = 30°+45° = 75°

angolo D = 45°+45° = 90°