[Risolto] Trigonometria

Triangolo ACD

α = pi - (2·pi/3 + x)

SIN(α) = SIN(pi - (2·pi/3 + x)) = SIN(2·pi/3 + x)

Per il Th seni possiamo scrivere:

8/SIN(2·pi/3 + x) = η/SIN(x) = b/SIN(2·pi/3)

Triangolo BCD

β = pi - (pi/3 + x)

SIN(β) = SIN(pi - (pi/3 + x)) = SIN(pi/3 + x)

Per il Th seni possiamo scrivere:

8/SIN(pi/3 + x) = μ/SIN(x) = a/SIN(pi/3)

Ricavo b:

8/SIN(2·pi/3 + x) = b/SIN(2·pi/3)

8/SIN(2·pi/3 + x) = b/(√3/2)

b = 4·√3/SIN(2·pi/3 + x)

Ricavo a:

8/SIN(pi/3 + x) = a/(√3/2)

a = 4·√3/SIN(pi/3 + x)

Deve risultare:

a + b = 24

4·√3/SIN(pi/3 + x) + 4·√3/SIN(2·pi/3 + x) = 24

con un po' di calcoli si ottiene la soluzione: x = pi/5=36°

Calcoli relativi alla soluzione data:

SIN(pi/3 + x) = SIN(pi/3)·COS(x) + SIN(x)·COS(pi/3)

SIN(pi/3 + x) = √3·COS(x)/2 + SIN(x)/2

SIN(2·pi/3 + x) = SIN(2/3·pi)·COS(x) + SIN(x)·COS(2·pi/3)

SIN(2·pi/3 + x) = √3·COS(x)/2 - SIN(x)/2

4·√3/(√3·COS(x)/2 + SIN(x)/2) + 4·√3/(√3·COS(x)/2 - SIN(x)/2) = 24

moltiplico per il mcm dei denominatori:

(√3·COS(x)/2)^2 - (SIN(x)/2)^2 = COS(x)^2 - 1/4

pongo:

COS(x)^2 - 1/4 ≠ 0

quindi:

x ≠ 5·pi/3 ∧ x ≠ 4·pi/3 ∧  x ≠ 2·pi/3 ∧  x ≠ pi/3

relativamente all'angolo giro

Poniamo:

COS(x) = Χ

SIN(x) = Υ

4·√3·(√3·Χ/2 - Υ/2) + 4·√3·(√3·Χ/2 + Υ/2) = 24·(Χ^2 - 1/4)

(6·Χ - 2·√3·Υ) + (2·√3·Υ + 6·Χ) = 24·Χ^2 - 6

24·Χ^2 - 6 - ((6·Χ - 2·√3·Υ) + (2·√3·Υ + 6·Χ)) = 0

24·Χ^2 - 12·Χ - 6 = 0

4·Χ^2 - 2·Χ - 1 = 0

soluzione: Χ = 1/4 - √5/4 ∨ Χ = √5/4 + 1/4

COS(x) = 1/4 - √5/4

x = 7·pi/5 ∨ x = 3·pi/5

Nessuna accettabile dovendo essere x: 0 < x < pi/2

COS(x) = √5/4 + 1/4

x = 9·pi/5 ∨ x = pi/5

Unica soluzione accettabile è quella in grassetto.

Il teorema della bisettrice afferma che la bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati; detti A, B, C i vertici di un triangolo qualsiasi e CD la bisettrice dell'angolo in C, vale la proporzione AD : DB = AC : CB.