Nel triangolo $A B C$ la bisettrice dell'angolo in $C$ incontra il lato $A B$ nel punto $P$ tale che $P B=70$ cm . Sapendo che $A \widehat{B} C=40^{\circ}$ e $A \widehat{C} B=80^{\circ}$, calcola perimetro e area del triangolo.
Nel triangolo $A B C$ la bisettrice dell'angolo in $C$ incontra il lato $A B$ nel punto $P$ tale che $P B=70$ cm . Sapendo che $A \widehat{B} C=40^{\circ}$ e $A \widehat{C} B=80^{\circ}$, calcola perimetro e area del triangolo.
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Livello 0
Triangolo ABC
AB=c; BC=a; AC =b (solite convenzioni)
Per il teorema della bisettrice possiamo scrivere:
a/70 = b/x
avendo posto x = ΑΡ
Per il calcolo di a possiamo fare riferimento al triangolo PBC
Th Carnot:
a = √(70^2 + 70^2 - 2·70^2·COS(100°))
a = 107.246 cm
Tramite il Th seni determiniamo x con riferimento al triangolo APC:
70/SIN(60°) = x/SIN(40°)
x = 51.956 cm
Quindi:
b = a·x/70----> b = 107.246·51.956/70
b = 79.601 cm
c = x + 70---> c = 51.956 + 70 = 121.956 cm
perimetro ABC=a + b + c = 107.246 + 79.601 + 121.956
perimetro ABC=308.803 cm
p = (a + b + c)/2 = semiperimetro=154.4015 cm
p - a = 154.4015 - 107.246= 47.1555 cm
p - b = 154.4015 - 79.601 = 74.8005 cm
p - c = 154.4015 - 121.956= 32.4455 cm
Area (formula di Erone)
Α = √(154.4015·47.1555·74.8005·32.4455)
Α = 4203.6 cm^2
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Genius III
teorema di F. Viete (a.k.a. cosine theorem)
BC = √70^2+70^2-2*70^2*cos 100° = 107,25 cm
teorema dei seni
107,25/sin 60°= AB/sin 80°
AB = 107,25*0,9848/0,8660 = 121,96 cm
107,246/sin 60°= AC/sin 40°
AC = 107,246*0,6428/0,8660 = 79,60 cm
altezza CH = AC*sin 60° = 79,60*0,8660 = 68,94 cm
perimetro 2p = 121,96+107,25+79,60 = 308,81 cm
area A = 121,96*68,94/2 = 4.204,0 cm^2
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Genius III
Guarda il disegno di @remanzini_rinaldo
Angolo ACB = 80°; la bisettrice lo taglia in due parti uguali da 40° ciascuna;
angolo ABC = 40°;
angolo CAB = 180° - 80° - 40° = 60°
CPB è un triangolo isoscele perché ha due angoli congruenti di 40° (PCB e PBC); l'angolo CPB misura 100°;
CP = PB = 70 cm;
Teorema di Carnot, (del coseno):
Lato BC:
BC = radicequadrata(70^2 + 70^2 - 2 * 70 * 70 *cos100°) = 107,25 cm; lato BC;
Teorema dei seni:
BC /sen60° = AB / sen80° = AC / sen40°;
AB / sen80° = 107,25 /sen60°;
Lato AB:
AB = 107,25 * sen80° / sen60° = 107,25 * 1,137 = 121,96 cm; (lato AB);
Lato AC:
AC / sen40° = AB / sen80°;
AC = 121,96 * sen40° / sen80° = 79,6 cm; (lato AC);
Perimetro = 79,6 + 121, 96 + 107,25 = 308,81 cm; (circa 309 cm);
Altezza CH relativa alla base AB:
CH = AC * sen60° = 79,6 * 0,866 = 68,94 cm;
Area = AB *, CH / 2 = 121,96 * 68,94 / 2 = 4204 cm^2.
86896
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Genius II