[Risolto] Trigonometria

Area con la formola di Erone:

Area = radicequadrata[p * (p - a) * (p - b) * (p - c)]

p = semiperimetro:

p = (20 + 7 + 14) / 2 = 41/2 = 20,5  unità;

Area = radicequadrata[20,5 * (20,5 - 20) * (20,5 - 7) * (20,5 - 14)];

Area = radice[20,5 * 0,5 * 13,5 * 6,5] ;

Area = radice(899,4375) = 29,99 = 30 unità^2;

Prendiamo come base il lato a = 20;

altezza relativa alla base a:

h = 2 * Area / a = 2 * 30 / 20 = 3 unità;  α, β, γ

α è l'angolo opposto ad a = 20 unità;

β è l'angolo opposto al lato b = 7 unità, γ è l'angolo opposto al lato c = 14 unità;

l'altezza h è il cateto opposto all'angolo β; ipotenusa è c = 14 unità;

senβ = h / c ;

senβ = 3/14;

β = arcsen(3/14) = 12,4° circa;

senγ = h / b = 3/7;

γ = arcsen(3/7) = 25,4° circa;

α = 180° - 12,4° - 25,4° = 142° circa.

Ciao  @saraaaaaaaaaaaaaaaaaaa

Si applica "Erone":

semiperimetro p = (20+21)/2 = 20,5 u

area A = √20,5*(20,5-7)*(20,5-14)*(20,5-20) = 30 u^2

altezza CH = 2A/AB = 60/20 = 3,0 u

CH = BC*sin ϒ

angolo ϒ = arcsin CH/BC = 25,38°

CH = AC*sin β

angolo β= arcsin CH/AC = 12,37°

angolo α = 180°-(β+ϒ) = 142,25°

Formule della tangente di Briggs

TAN(α/2) = √((p - b)·(p - c)/(p·(p - a)))

TAN(β/2) = √((p - a)·(p - c)/(p·(p - b)))

TAN(γ/2) = √((p - a)·(p - b)/(p·(p - c)))

p = (a + b + c)/2 = (20 + 7 + 14)/2 = 41/2

p - a = 41/2 - 20 = 1/2

p - b = 41/2 - 7 = 27/2

p - c = 41/2 - 14 = 13/2

Quindi:

TAN(α/2) = √(27/2·(13/2)/(41/2·(1/2))) = 3·√1599/41

α = 2·ATAN(3·√1599/41)·(180/pi) =142.2618640°

TAN(β/2) = √(1/2·(13/2)/(41/2·(27/2))) = √1599/369

β = 2·ATAN(√1599/369)·(180/pi) = 12.36969651°

TAN(γ/2) = √(1/2·(27/2)/(41/2·(13/2))) = 3·√1599/533

γ = 2·ATAN(3·√1599/533)·(180/pi) = 25.36843944°

Verifica:

142.261864 + 12.36969651 + 25.36843944 = 180°

Risolvere il triangolo ABC con gli elementi indicati:

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Un modo può essere il seguente:

angolo $\small \alpha= \cos^{-1}\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right) = \cos^{-1}\left(\dfrac{7^2+14^2-20^2}{2×7×14}\right) \approx{142,26°};$ $\small\;^{(1)}$

angolo $\small \beta= \cos^{-1}\left(\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right) = \cos^{-1}\left(\dfrac{20^2+14^2-7^2}{2×20×14}\right) \approx{12,37°};$

angolo $\small \gamma= \cos^{-1}\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right) = \cos^{-1}\left(\dfrac{20^2+7^2-14^2}{2×20×7}\right) \approx{25,37°}.$

Note:

$\small\;^{(1)}: \cos^{-1}= arcocoseno.$