[Chiuso] Trigonometria

Il problema in esame mi sembra sia già stato risolto:

https://www.sosmatematica.it/forum/domande/trigonometria-124/?wpappninja_v=65f9fb0d9d8e7

si applica Erone al triangolo ABD

semiperimetro p = 15+3√7 = 22,93725

area A' = √22,93725*(22,93725-12)*(22,93725-18)*(22,93725-7,93725*2) = 93,53 cm^2

altezza DH = 2A'/AB = 93,530*2/18 = 10,392 cm = 6√3

AB = BH = √12^2-36*3 = 6,00 cm 

CD = 18-2*6 = 6,00 cm 

angoli in A e B = arccos 6/12 = 60,00°

angoli in C e D = 90+30 = 120°

area  A = (12*6√3) = 72√3 cm^2

perimetro 2p = 24+24 = 48 cm 

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Lavora sul triangolo ABD:

perimetro $\small 2p= 18+12+6\sqrt7 = 30+6\sqrt7\,cm;$

semiperimetro $\small p=  \dfrac{18+12+6\sqrt7}{2} = 15+3\sqrt7\,cm;$

calcola l'area del triangolo ABD applicando la formula di Erone:

$\small A_{ABD}= \sqrt{p(p-AB)(p-AD)(p-BD)}$

$\small A_{ABD}= \sqrt{(15+3\sqrt7)(15+3\sqrt7-18)(15+3\sqrt7-12)(15+3\sqrt7-6\sqrt7)}$

$\small A_{ABD}= \sqrt{(15+3\sqrt7)(-3+3\sqrt7)(3+3\sqrt7)(15-3\sqrt7)} = 54\sqrt3\,cm^2$

quindi, altezza relativa alla base AB = altezza del trapezio:

$\small h= \dfrac{2×54\sqrt3}{18} = \dfrac{\cancel{108}^6\sqrt3}{\cancel{18}_1} = 6\sqrt3\,cm;$

trapezio isoscele ABCD:

proiezione lato obliquo $\small pl= \sqrt{12^2-(6\sqrt3)^2} = \sqrt{144-36×3} = \sqrt{144-108} = \sqrt{36} = 6\,cm$ (teorema di Pitagora);

base minore $\small b= B-2pl = 18-2×6 = 18-12 = 6\,cm;$

perimetro $\small 2p_{ABCD}= B+b+2l = 18+6+2×12 = 24+24 = 48\,cm;$

area $\small A_{ABCD}= \dfrac{(B+b)×h}{2} = \dfrac{(18+6)×\cancel6^3\sqrt3}{\cancel2_1}= 24×3\sqrt3 = 72\sqrt3\,cm^2;$

angoli acuti $\small \hat{A}= \hat{B}= \cos^{-1}\left(\dfrac{pl}{l}\right) = \cos^{-1}\left(\dfrac{6}{12}\right) = \cos^-1(0,5) = 60°;$

gli angoli ottusi e gli angoli acuti, nel triangolo isoscele, sono supplementari, per cui:

angoli ottusi $\small \hat{C}= \hat{D}= 180-60 = 120°.$