Trigonometria

AB=c

AC=b

BC=a

{c - b = 6

{a = 3·√7

{α = 60° = pi/3

Vale il Th Carnot:

a^2 = b^2 + c^2 - 2·b·c·COS(pi/3)

Quindi scriviamo:

{a^2 = b^2 - b·c + c^2

{c - b = 6

{a = 3·√7

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Risolviamo per sostituzione

(3·√7)^2 = b^2 - b·c + c^2

63 = b^2 - b·c + c^2

c = b + 6

63 = b^2 - b·(b + 6) + (b + 6)^2

63 = b^2 - (b^2 + 6·b) + (b^2 + 12·b + 36)

63 = b^2 + 6·b + 36

b^2 + 6·b - 27 = 0

(b - 3)·(b + 9) = 0

b = -9 ∨ b = 3

b=3 cm l'altra si esclude

c = 3 + 6 = 9 cm

perimetro=

a + b + c = 3·√7 + 3 + 9= (3·√7 + 12) cm

Area=

Α = 1/2·b·c·SIN(α) = 1/2·3·9·SIN(pi/3)= 27·√3/4 cm^2

applico il teorema di F. Viete (aka del coseno)

9*7 = (a-6)^2+a^2 -2*(a-6)*a*cos 60°

63 = a^2+36-12a+a^2 -2*1/2*a^2-6a

63 = a^2+36-6a

a^2-6a-27 = 0

a = (6±√6^2+108)/2 = (6+12)/2 = 9 cm

c = 9-6 = 3 cm 

CH = h = c*sin 60° = 3√3 /2

area A = a*h/2 = 9*3√3 /4 = 27√3 /4 cm^2 (11,691..)

perimetro 2p = 3+3√7+9 = 3(1+3+√7) = 3(4+√7) cm (19,937..)

Utilizzando il Teorema di Carnot (detto anche del coseno) si ha:

Da cui

Spero sia chiaro

PS come mai proprio 19 “a” finali nel tuo nome?

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Lato $\small AB = a;$

lato $\small AC= a-6;$

lato $\small BC= 3\sqrt7\,cm;$

angolo $\small \beta = 60°;$

quindi conoscendo il lato opposto all'angolo (BC) applica il teorema del coseno:

$\small \sqrt{a^2+(a-6)^2-2a(a-6)×cos(\beta)} = 3\sqrt7$

$\small \sqrt{a^2+a^2-12a+6^2-(2a^2-12a)×cos(60°)} = 3\sqrt7$

$\small \sqrt{2a^2-12a+36-(2a^2-12a)×\dfrac{1}{2}} = 3\sqrt7$

$\small \sqrt{2a^2-12a+36-(a^2-6a)} = 3\sqrt7$

$\small \sqrt{2a^2-12a+36-a^2+6a} = 3\sqrt7$

$\small \sqrt{a^2-6a+36} = 3\sqrt7$

$\small a^2-6a+36 = \left(3\sqrt7\right)^2$

$\small a^2-6a+36 =9×7$

$\small a^2-6a+36 = 63$

$\small a^2-6a+36 -63= 0$

$\small a^2-6a-27= 0$ → $\small a=1; b= -6; c= -27;$

$\small \Delta= b^2-4ac = (-6)^2-(4×1×-27) = 36-(-108)= 36+108 =144$

$\small a_{1,2}= \dfrac{-(-6)\pm\sqrt{144}}{2×1} = \dfrac{6\pm12}{2} $

$\small a_1= \dfrac{6-12}{2} = \dfrac{-6}{2} = -3;$ che escludiamo perché negativo;

$\small a_2= \dfrac{6+12}{2} = \dfrac{18}{2} = 9;$

per cui i due lati incogniti sono:

lato $\small AB = a = 9\,cm;$

lato $\small AC= a-6 = 9-6 = 3\,cm;$

perimetro $\small 2p= 9+3+3\sqrt7 = 12+3\sqrt7\,cm\quad(\approx{19,937}\,cm);$

per l'area serve la formula di Erone:

semiperimetro $\small p= \dfrac{12+3\sqrt7}{2}\approx{9,9686}\,cm;$

area $\small A= \sqrt{9,9686(9,9686-9)(9,686-3)(9,9686-3\sqrt7)} \approx{11,69}\,cm^2.$