[Risolto] trigonometria

L'equazione
* 2*cos^2(x) - 5*cos(x) + 2 = 0
è una reciproca di prima specie e grado due in "cos(x)", come si vede meglio dividendola membro a membro per il coefficiente direttore
* 2*cos^2(x) - 5*cos(x) + 2 = 0 ≡
≡ cos^2(x) - (5/2)*cos(x) + 1 = 0
e osservando, da tale forma monica, che il prodotto delle radici vale uno.
Si osserva altresì che la somma delle radici vale due e mezzo e quindi che le radici reciproche sono 1/2 e 2.
---------------
Ciò consente di spezzare l'equazione di grado due in due di grado uno
* 2*cos^2(x) - 5*cos(x) + 2 = 0 ≡
≡ (cos(x) = 1/2) oppure (cos(x) = 2)
risolvibili separatamente.
---------------
La prima è banale e si risolve, a meno delle periodicità 2*k*π, consultando la tabellina degli archi notevoli
* (cos(± π/3) = 1/2) → (cos(x) = 1/2 ≡ 2*k*π ± π/3
---------------
La seconda è un po' più rognosa perché la soluzione di
* cos(x) = 2
non dipende dall'equazione, ma dal tuo livello di studio (che non hai scritto nella domanda).
---------------
A livello elementare (funzioni seno e coseno definite sul triangolo rettangolo) il risultato è «L'equazione è impossibile: il modulo del coseno non supera uno.»
---------------
A livello un po' meno elementare (seno e coseno definite come combinazioni lineari di esponenziali complesse) il risultato è
* (cos(± i*ln(2 + √3)) = 2) → (cos(x) = 2 ≡ 2*k*π ± i*ln(2 + √3)
in quanto lo si trova risolvendo l'equazione esponenziale ottenuta dalla definizione
* cos(x) = (e^(- i*x) + e^(i*x))/2 = 2
---------------
Vedi una verifica al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%28-i*ln%282%2B%E2%88%9A3%29%29

Ciao!

fai una sostituzione $ t = \cos(x)$, così abbiamo

$$ 2t^2 -5t +2 = 0 $$

Sappiamo risolvere questa equazione di secondo grado:

$t_{1,2} = \frac{+5 \pm \sqrt{5^2-4(2)(2)}}{2\cdot 2} = \frac{ 5 \pm 3}{4} $

ottenendo $ t = 2 \vee t = -\frac12$

Torniamo al coseno:

$\cos(x) = 2$ è impossibile, perché i valori del coseno (e anche del seno) arrivano al massimo fino a $1$.

$\cos(x) = -\frac12$ ci dà $ x = \frac23 \pi +2k \pi \vee x = \frac43 \pi +2 k \pi $