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Trigonometria

  

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Nel triangolo rettangolo ABC,di ipotenusa BC = 2a , il cateto minore è AB . Traccia la perpendicolare all'ipotenusa BC nel suo punto medio M , fino a incontrare il cateto AC  in P.

Determina l'ampiezza dell'angolo AĈB in modo che : AC / PM = 3 CM / AB .

[soluzioni : 30°]

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dati: CM=a;

è data la relazione: AC/PM=3a/AB  --> PM/AB=AC/3a ...(1)

 

i triangoli ABC e PMC,rettangoli,con l'angolo in C comune,sono simili:

si ha la relazione:PM/AB=a/AC....(2)

 

eguagliamo i secondi membri della (1) e della (2):

AC/3a=a/AC  ---> AC²=3a² ....(3)

dal triangolo rettangolo ABC: AC=BCcosx = 2acosx....(4)

 

sostituiamo nella (3) il valore (4) di AC:

4a²cos²x=3a²  -->cosx=√3/2  --->  x=30°



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hai scritto BC = 2a !!!

"a" cosa è mai ? Il cateto minore AB ? 

Se così l'angolo Ĉ è già definito perché :

AB/BC = 0,5

BC*sin (Ĉ) = BC*0,5

sin (Ĉ) = 0,5

Ĉ = arcsin 0,5 = 30°

dalla similitudine dei triangoli ABC ed MPC si ricava :

CM = BC/2

PM/CM = tan 30° = √3 / 3

PM = BC/2*√3 / 3 = (BC*√3)/6

CP = √CM^2+PM^2 = BC√1/4+1/12 = BC*√1/3 = (BC*√3)/3 = 2PM 

 

AC/PM ??

AC = BC*√3 /2 

PM = (BC*√3)/6

AC/PM = 1/2 / 1/6 = 6/2 = 3

 

CM/AB ?? 

CM = BC/2

AB = BC/2 

CM/AB = 1 

 

(AC/PM) / (CM/AB) = 3/1 = 3 ...QED 

 



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@sasino

Ciao.

In base ai dati, individuiamo l'angolo in C con γ. A questo punto la scrittura:

AC / PM = 3 CM / AB 

si può scrivere mediante una equazione trigonometrica:

2·a·COS(γ)/(a·TAN(γ)) = 3·a/(2·a·SIN(γ))

in cui compare solo incognita l'angolo richiesto. Facciamo due conti:

2·COS(γ)^2/SIN(γ) = 3/(2·SIN(γ))   (moltiplico per 2·SIN(γ))

4·COS(γ)^2 = 3

COS(γ)^2 = 3/4

valuto il coseno:

COS(γ) = ± √(3/4)

COS(γ) = ± √3/2

scarto la radice negativa perché corrisponderebbe ad un angolo ottuso, quindi:

γ = pi /6 =30°

 



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