Considera il triangolo rettangolo $A B C$ inscritto in una circonferenza di diametro $\overline{A B}=2 r$ : sul lato $B C$ costruisci il quadrato $B P Q C$ esternamente al triangolo. Se il trapezio $A B P Q$ ha area $S=\frac{4+3 \sqrt{2}}{2} r^2$, quanto misura l'angolo $\widehat{B A} C$ ?
$$
\left[\frac{3}{8} \pi, \arctan (5 \sqrt{2}+7)\right]
$$
ciao avrei bisogno di capire tutti i passaggi grazie
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Livello 6
ΒC = 2·r·SIN(x)
l = 2·r·SIN(x)= lato quadrato costruito su BC
ΑC = 2·r·COS(x)
Trapezio rettangolo ABPQ:
ΑQ = ΑC + l = 2·r·COS(x) + 2·r·SIN(x) = base maggiore
AQ = 2·r·(COS(x) + SIN(x))
Quindi deve essere:
(4 + 3·√2)/2·r^2 = 1/2·(2·r·(COS(x) + SIN(x)) + 2·r·SIN(x))·2·r·SIN(x)
(4 + 3·√2)/2·r^2 = 2·r^2·SIN(x)·COS(x) + 4·r^2·SIN(x)^2
2·SIN(x)·COS(x) + 4·SIN(x)^2 = 3·√2/2 + 2
pongo:
{SIN(x) = Υ
{COS(x) = Χ
Risolvo il sistema:
{2·Υ·Χ + 4·Υ^2 = 3·√2/2 + 2
{Υ^2 + Χ^2 = 1
ottenendo come soluzione:
[Υ = √(√2 + 2)/2 ∧ Χ = √(2 - √2)/2, Υ = - √(√2 + 2)/2 ∧ Χ = - √(2 - √2)/2, Υ = √(35·√2 + 50)/10 ∧ Χ = √(50 - 35·√2)/10, Υ = - √(35·√2 + 50)/10 ∧ Χ = - √(50 - 35·√2)/10]
Quindi considero buone quelle in grassetto:
{SIN(x) = √(√2 + 2)/2
{COS(x) = √(2 - √2)/2
Soluzione: [x = 3·pi/8]
{SIN(x) = √(35·√2 + 50)/10
{COS(x) = √(50 - 35·√2)/10
TAN(x) = √(35·√2 + 50)/10/(√(50 - 35·√2)/10)
TAN(x) = 5·√2 + 7----> x = ATAN(5·√2 + 7)
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Genius III
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Livello 8
@anna-supermath ciao come arrivi ad ottenere la tangente?
dividi tutto per coseno al quadrato di x
