Traccia il grafico probabile della seguente funzione

y = (2 + LOG(1/2, x))·(1/LOG(1/2,x))

Ricerca del C.E.

{x > 0

{LOG(1/2, x) ≠ 0

Risolvo: 

{x > 0

{x ≠ 1

quindi: [x ≠ 1 ∧ x > 0]

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Intersezioni con gli assi:

La funzione non interseca l'asse delle y

Con asse x:

{y = (2 + LOG(1/2, x))·(1/LOG(1/2,x))

{y = 0

quindi:

2 + LOG(1/2, x)=0

risolvo: x = 4

Quindi soluzione sistema: [x = 4 ∧ y = 0]

punto di intersezione: [4, 0]

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Segno funzione:

y = (2 + LOG(1/2, x))·(1/LOG(1/2,x))

Conviene scriverla come:

y = 1 - 2·LN(2)/LN(x)

y>0 per 0 < x < 1 ∨ x > 4

y<0 per 1 - 2·LN(2)/LN(x) < 0

y=0 per x=4  (vedi precedentemente)

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Condizioni agli estremi del C.E. (limiti):

LIM(1 - 2·LN(2)/LN(x)) =1

x---> 0+

LIM(1 - 2·LN(2)/LN(x)) = +∞

x----> 1-

LIM(1 - 2·LN(2)/LN(x)) = -∞

x---> 1+

Quindi abbiamo asintoto verticale x=1

LIM(1 - 2·LN(2)/LN(x)) = 1

x---> +∞

Quindi abbiamo asintoto y=1 asintoto orizzontale (destro)

poi, se vogliamo determinare il grafico della funzione, bisognerebbe studiare le due derivate che però per quanto hai affermato penso che ancora non le abbiate svolte. In ogni caso ti dò il grafico:

Do per scontato che il probabile grafico deve essere disegnato senza l'uso di derivate.

$ y(x) = (2+log_{\frac{1}{2}} (x)) \cdot \frac{1}{log_{\frac{1}{2}} (x)} $

• Dominio 
  • • $ log_{\frac{1}{2}} (x) \; ⇒ \; x > 0 $
    • $ 1/(log_{\frac{1}{2}} (x)) \; ⇒ \; x > 0 \; ∧ \; x \ne 1 $
• Dominio = (0, 1) U (1, +∞)

• Comportamento della funzione in frontiera. Occorre sviluppare 4 limiti
  • • $ \displaystyle\lim_{x \to 0^+ } y(x) = 1 $   E' una forma indeterminata del tipo +∞/+∞
    • $ \displaystyle\lim_{x \to 1^- } y(x) = \frac{2}{0^+} = +\infty $   nota la base è 1/2
    • $ \displaystyle\lim_{x \to 1^+ } y(x) = \frac{2}{0^-} = -\infty $ 
    • $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty } y(x) = 1$ E' una forma indeterminata del tipo -∞/-∞

• Zeri della funzione. y(x) = 0
  • • $ log_{\frac{1}{2}} (x) = - 2 \; ⇒ \; (\frac{1}{2})^{log_{\frac{1}{2}} (x)} = (\frac{1}{2})^{-2} \; ⇒ \;  x = 4 $

• Segno y(x)
  • • In (0, 1) la funzione è positiva; y(x) > 0
    • In (1, 4) la funzione è negativa; y(x) < 0
    • Per x = 4 la funzione è nulla; y(4) = 0
    • Per x > 4 la funzione è positiva; y(x) > 0

Riporta tutte le informazioni su di un diagramma cartesiano, potrai così disegnare il grafico.

https://www.desmos.com/calculator/q5ws2kzwvn