Topologia

Problema:
Sia \(X\) un insieme. Si consideri
\[
\mathcal{T} \;=\;\bigl\{\,A\subseteq X\mid A=\varnothing\;\hbox{oppure}\;X\setminus A\hbox{ è finito o numerabile}\bigr\}.
\]
Verificare che \(\mathcal{T}\) è una topologia su \(X\).

Soluzione:

Ho utilizzato mathgpt per verificare le condizioni più velocemente, la soluzione mi sembra corretta.

Per mostrare che \(\mathcal{T}\) è una topologia su \(X\), bisogna verificare i tre assiomi seguenti:

1. \(\varnothing\in\mathcal{T}\) e \(X\in\mathcal{T}\).
2. \(\mathcal{T}\) è chiusa rispetto alle unioni arbitrarie.
3. \(\mathcal{T}\) è chiusa rispetto alle intersezioni finite.

1) Contenimento di \(\varnothing\) e di \(X\)

Per definizione, \(\varnothing\in\mathcal{T}\).
Per quanto riguarda \(X\), si osserva che
\[
X\setminus X = \varnothing,
\]
che è finito (in realtà vuoto). Quindi \(X\in\mathcal{T}\).

2) Chiusura per unioni arbitrarie

Sia \(\{A_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal{T}\) una famiglia arbitraria di insiemi aperti. Bisogna mostrare
\[
A\;=\;\bigcup_{i\in I}A_i
\;\in\;\mathcal{T}.
\]
Se uno degli \(A_i\) è \(\varnothing\), non cambia l’unione. Quindi possiamo assumere che ogni \(A_i\) sia tale che \(X\setminus A_i\) sia finito o numerabile.

Si osserva che
\[
X\setminus A
\;=\;
X\setminus \Bigl(\bigcup_{i\in I}A_i\Bigr)
\;=\;
\bigcap_{i\in I}\,\bigl(X\setminus A_i\bigr).
\]

L'intersezione arbitraria di insiemi numerabili o finiti è ancora numerabile. In particolare:

Se ogni \(X\setminus A_i\) è finito, allora \(\bigcap_i (X\setminus A_i)\) è un sottoinsieme di ciascuno, quindi è ancora finito.
Se alcuni \(X\setminus A_i\) sono numerabili, l’intersezione di insiemi numerabili è numerabile.
Se si mescolano finiti e numerabili, l’intersezione resta numerabile (o finita).

Quindi \(X\setminus A\) è finito o numerabile, da cui \(A\in\mathcal{T}\).

3) Chiusura per intersezioni finite

Siano \(A,B\in\mathcal{T}\). Si verifica che \(A\cap B\in\mathcal{T}\).
Poiché \(A,B\in\mathcal{T}\), è noto che \(X\setminus A\) e \(X\setminus B\) sono finiti o numerabili. Allora

\[
X\setminus (A\cap B)
\;=\;
(X\setminus A)\,\cup\,(X\setminus B).
\]

Ma l’unione di due insiemi finiti o numerabili è ancora numerabile (o finito). Infatti:
L’unione di due insiemi finiti è finita.
L’unione di un insieme finito con uno numerabile è numerabile.
L’unione di due insiemi numerabili è numerabile.

In ogni caso, \(X\setminus(A\cap B)\) risulta finito o numerabile, quindi \(A\cap B\in\mathcal{T}\).

Per l’intersezione di più di due insiemi, si procede per induzione finita: se vale per due insiemi, vale per due alla volta in cascata.