Test, Teorema di De L'Hospital

La risposta corretta è $\textbf{B.}$

$\lim_{x \to a} \dfrac{\sqrt{2a^3x-x^4}-a\sqrt[3]{a^2x}}{a-\sqrt[4]{ax^3}}$

Ricordiamo che nei numeri reali $\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$

$\lim_{x \to a} \dfrac{\sqrt{2a^3x-x^4}-a \cdot a ^{\frac{2}{3}}x^{\frac{1}{3}}}{a-a^{\frac{1}{4}}x^{\frac{3}{4}}}$

$\lim_{x \to a} \dfrac{\sqrt{2a^3x-x^4}- a ^{\frac{5}{3}}x^{\frac{1}{3}}}{a-a^{\frac{1}{4}}x^{\frac{3}{4}}}$

Deriviamo il primo addendo del numeratore con la regola della catena, e il secondo addendo con la regola dell'esponente (deriviamo anche il denominatore usando la regola dell'esponente)

$\lim_{x \to a} \dfrac{\frac{1}{2\sqrt{2a^3x-x^4}} \cdot 2(a^3-2x^3) - \frac{1}{3} a^{\frac{5}{3}} x^{-\frac{2}{3}}}{-\frac{3}{4}a^{\frac{1}{4}}x^{-\frac{1}{4}}}$

$\lim_{x \to a} \dfrac{\frac{a^3-2x^3}{\sqrt{2a^3x-x^4}} - \frac{1}{3} a^{\frac{5}{3}} x^{-\frac{2}{3}}}{-\frac{3}{4}a^{\frac{1}{4}}x^{-\frac{1}{4}}}$

Adesso possiamo sostituire $x=a$, e calcoliamo il valore del limite:

$\lim_{x \to a} \dfrac{\frac{a^3-2a^3}{\sqrt{2a^3a-a^4}} - \frac{1}{3} a^{\frac{5}{3}} a^{-\frac{2}{3}}}{-\frac{3}{4}a^{\frac{1}{4}}a^{-\frac{1}{4}}}$

$\lim_{x \to a} \dfrac{-\frac{a^3}{a^2} - \frac{1}{3} a}{-\frac{3}{4}}$

$\lim_{x \to a} \dfrac{a + \frac{1}{3} a}{\frac{3}{4}}$

$\lim_{x \to a} \dfrac{3a+a}{3} \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{16}{9}a$.

Questo grafico dimostra la correttezza della risposta: