Test d'ingresso, progressione aritmetica e punto medio

Problema:

Sia \(\mathbb{Z} = \{\ldots, 2, 1, 0, 1, 2, \ldots \}\) l’insieme dei numeri interi (anche negativi). Per progressione aritmetica intendiamo un insieme di numeri interi della forma \(\{a + nb : n \in \mathbb{Z}\}\), dove \(a\) e \(b\) sono numeri interi e \(b > 0\). L’intero positivo \(b\) si denomina modulo (o ragione) della progressione.
Dimostrate che \(\mathbb{Z}\) non può essere unione di quattro o meno progressioni aritmetiche i cui moduli siano tutti distinti e tutti maggiori di 1.

Soluzione: (al momento errata)

Suppongo sia un quesito di qualche test di ingresso di qualche scuola superiore dato che è a risposta aperta e non banale; la parte difficile è risolverlo con le conoscenze di un liceale, quindi niente gruppi, niente classi di equivalenza, niente insiemi quozienti e così via. Vedo se riesco ad impostarlo senza fare riferimento a questi enti algebrici.

Credo che converrebbe partire da un numero esiguo di progressioni per generalizzare poi la soluzione. Si suppone che ci siano $b_1$ e $b_2$ distinti positivi e maggiori di $1$. Il valore di $a$ non interessa dato che la somma di due interi è un intero.

Si ottiene quindi che l'unione di queste due progressioni è $E=\{a+nb_1+mb_2: n, m \in \mathbb{Z}\}$. Forse è un po' azzardato e inusuale per uno studente delle superiori, ma per entrare in queste scuole generalmente si richiedono questi sforzi concettuali, però si può considerare questo insieme come un sistema affine. Mi spiego meglio: si può immaginare che $a$ sia un punto qualsiasi sulla retta degli interi e che $nb_1$ e $mb_2$ siano dei vettori di lunghezza variabile a seconda dei valori interi di $n,m$. Bisogna quindi trovare un modo per coprire tutti i valori sulla retta indipendentemente dal punto $a$ in cui ci si posiziona. Ad esempio, prendendo $b_1=2$ e $b_2=3$, con $a=1$ dato che è indifferente la posizione, si copre $\{...,-3,-1,1,3,5,7,...\} \cup \{...,-5,-2,1,4,7,10,...\}=\{...,-5,-3,-2,-1,1,3,4,5,7,10...\}$. 

È possibile osservare che nel primo caso vi è una simmetria rispetto $a$ di ragione $b_1$ e nel secondo caso di ragione $b_2$, in breve vengono coperti gli interi che distano tra loro di $b_1$ o di $b_2$.

Però come mostra l'esempio, in generale non vi è simmetria nell'unione di due progressioni di questo tipo. L'obiettivo è quindi vedere se esiste e quale è il numero necessario di moduli per coprire un certo $\mathbb{Z} \setminus E$. Dal testo del quesito è noto che se esiste è sicuramente maggiore di $4$. In matematichese bisogna quindi dimostrare che, fissato $a \in \mathbb{E} \subset \mathbb{Z}$, non esiste $E=\{ a+Span_{\mathbb{Z}} \{b_1,b_2,b_3,b_4\} \} \equiv \mathbb{Z}$, ove tramite lo span, per brevità di notazione, si denotano le combinazioni lineari dei moduli, oppure che $E^C \subset \mathbb{Z} \neq \emptyset$ per qualsiasi $b_i$ come sopra definito.

Poiché la posizione di partenza è ininfluente, basta mostrare che non vale $d\mathbb{Z} \subset Span_{\mathbb{Z}} \{ b_1, ..., b_4 \} $, con $b_i>1$ intero e $d=1$. (Ciò mi sembra vero in generale se i $b_i$ non sono coprimi per il lemma di Bezout che però non mi sembra di aver affrontato alle superiori; ad ogni modo ciò non esclude che esistano casi in cui i numeri siano coprimi, infatti se questa mia proposizione è vera si invaliderebbe l'enunciato del testo, ciò implica che non sto considerando qualcosa o che ho affermato nel procedimento qualcosa di falso.)