Teoremi sulle funzioni derviabili

Problema:

Assegnata la funzione $y=e^{x³-8}$:

a. verificare che è invertibile.

b. stabilire se la funzione inversa $f^{-1}$ è derivabile in ogni punto del suo dominio di definizione, giustificando la risposta.

Soluzione:

a. Una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca. È noto che $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$.

La funzione è iniettiva dato che $f(x_1)=f(x_2) \implies e^{x_1³-8}=e^{x_2³-8} \implies x_1³=x_2³ \implies x_1=x_2$ per ogni $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$. Poiché la funzione copre tutto il codominio $(0,+∞)$, in questo caso esso è considerato come l'immagine della funzione invece che tutto $\mathbb{R}$, essa è anche suriettiva. Ciò implica che la funzione è invertibile e che $f^{-1}: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$.

b. Per individuare l'inversa si esplicita la funzione rispetto $y$:

$y=e^{x³-8}$

$\ln y =x^3 -8$

$\ln y +8=x^3$

$x=\sqrt[3]{8+\ln y}$

Si scambiano $x$ e $y$.

$f^{-1}(x)=y=\sqrt[3]{8+\ln x}$

Il dominio di definizione è, come ci si aspettava, $(0,+\infty)$.

La sua derivata è $y'=\frac{1}{3x\sqrt[3]{(8+\ln x)^2}}$ , questa è definita per 

$3x\sqrt[3]{(8+\ln x)^2} \neq 0$

$x\sqrt[3]{(8+\ln x)^2} \neq 0$

$x³(8+\ln x)² \neq 0$

Dato che $x>0$

$x \neq e^{-8}$.

Poiché $e^{-8} \in (0,+∞)$, la funzione $f^{-1}$ non è derivabile nel suo dominio di definizione.