[Risolto] TEOREMI SULLE FUNZIONI DERIVABILI.

a.  

• dal grafico si deduce che l'equazione  dell'asintoto è y = -x +1 (retta passante per A(0,1) e B(1,0) con m = -1 e q = 1.
• $y(x) = ax + b + \frac{c}{x}$
• $y'(x) = a - \frac{c}{x^2} = \frac {ax^2-c}{x^2}$
• Punti stazionari. $y'(x) = 0  ⇒ x^2 = \frac {c}{a}$ dal grafico i punti stazionari corrispondono a x = ±2. Per confronto 

$ ±\sqrt{\frac{c}{a}} = ± 2 \quad \implies \quad c = 4a$

La funzione sarà del tipo

• $y(x) = ax + b + \frac{4a}{x}$.
• dalla formula del coefficiente angolare dell'asintoto ricaviamo

$ m = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \displaystyle\lim_{x \to +\infty}  a + \frac{b}{x} - \frac {4a}{x^2} = a $

quindi a = -1 ∧ c = -4

La funzione sarà del tipo

• $y(x) = -x + b - \frac{4}{x}$.
• dalla formula dell'ordinata all'origine q ricaviamo

$ q = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) - mx = 1$

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} -x +b - \frac{4}{x} +x = 1$

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} b - \frac{4}{x}  = 1$

Procedendo con il limite

$ b = 1$

I coefficienti sono a = -1 ∧ b = 1 ∧ c = -4

.

b.  Immagine della funzione.

Ramo sinistro.

1. $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$   
2. f(-2) = 5

Essendo la funzione f(x) continua, possiamo applicare il teorema dei valori intermedi (IVT) versione generalizzata e così affermare che l'insieme [5, +∞) è la parte dell'Immagine che si ha per y positivo.

Ramo destro 

1. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$   
2. f(2) = -3

Essendo la funzione f(x) continua, possiamo applicare il teorema dei valori intermedi (IVT) versione generalizzata e così affermare che l'insieme (-∞, -3] è la parte dell'Immagine che si ha per y negativo.

L'insieme immagine è l'unione dei due precedenti intervalli cioè

Immf(x) = (-∞, -3] U [5, +∞)