TEOREMI SULLE FUNZIONI DERIVABILI.

Per 0 ≤ t ≤ 20 gg,

l'unica che può rappresentare efficacemente la funzione delle vendite in 20 gg è:

f(t) = a·t·e^(- b·t) con a>0 e b>0 , cioè la seconda

Infatti deve essere f(0)=0 quindi si esclude la prima.

Non può essere la terza perché rappresenta una parabola ad asse verticale e quindi non può avere un punto di flesso.

Non può essere l'ultima perché rappresenta una cubica :

f(t)=b·t + a·t^3----> f''(t)=6·a·t

perché il punto di flesso sarebbe per t=0

Con la seconda il punto di flesso è per 

f''(t) =0-----> a·e^(- b·t)·(b^2·t - 2·b) = 0---> t = 2/b

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La velocità di variazione delle vendite è rappresenta dalla funzione derivata prima:

f(t) = a·t·e^(- b·t)---> f'(t) = a·e^(- b·t)·(1 - b·t)

che per t = 0 deve essere:

a·e^(- b·0)·(1 - b·0) = 3---> a = 3

Il minimo si ha in corrispondenza  della derivata seconda di f(t) eguagliata a 0, valore trovato sopra e pari a:

t = 2/b----> 10 = 2/b----> b = 0.2

Quindi la funzione di vendita è:

f(t)= 3·t·e^(- 0.2·t)-----> f'(t)=0 C.N.

e^(- t/5)·(3 - 3·t/5) = 0----> t=5 gg

f(5)= 3·5·e^(- 0.2·5)---> f = 5.518 circa

Siccome la funzione è rappresentata come migliaia di auto vendute, il numero massimo delle auto vendute nel 5° giorno è pari a 5518 circa.

a) deve essere b

perché passa per l'origine e non tende all'infinito quando x ->+oo