Sia rOs un angolo di ampiezza 120°. Considera, rispettivamente sui lati r ed s, i due punti A e B, tali che OA = 2ae OB =a.
a.Determina il punto P, sulla bisettrice dell’angolo rOs, in modo che risulti PA^2+ PB^2= 7 a2 .
b.In corrispondenza del punto P individuato al punto precedente, determina le ampiezze degli angoli del quadrilatero OAPB e stabilisci se è inscrivibile in una circonferenza.
1
punto
Livello 0
Ciao.
Meglio tardi che mai una risposta!
Facciamo riferimento al piano cartesiano.
Un lato dell'angolo sia la semiretta positiva x. La bisettrice ha pendenza pari a: m = TAN(60°) = √3
Quindi la bisettrice ha equazione: y = √3·x
Il punto A ha coordinate:
{x = 2·a·COS(120°)
{y = 2·a·SIN(120°)
quindi A(-a, √3·a)
mentre B(a,0)
Il punto P ha coordinate [x, √3·x]
PA^2=(x + a)^2 + (√3·x - √3·a)^2 = 4·x^2 - 4·a·x + 4·a^2
PB^2= (x - a)^2 + (√3·x - 0)^2 = 4·x^2 - 2·a·x + a^2
Si deve quindi porre:
(4·x^2 - 4·a·x + 4·a^2) + (4·x^2 - 2·a·x + a^2) = 7·a^2
8·x^2 - 6·a·x + 5·a^2 = 7·a^2
8·x^2 - 6·a·x - 2·a^2 = 0
4·x^2 - 3·a·x - a^2 = 0
(x - a)·(4·x + a) = 0
x = - a/4 ∨ x = a
scarto la prima perché suppongo a>0
x = a----------------> P(a, √3·a)
Quindi poi fai un disegno come quello riportato sotto (a=8):
Ti accorgi subito che il quadrilatero non è inscrivibile perché gli angoli opposti non sono supplementari.
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punti
Genius III
@lucianop 👍👌👍
