Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.
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Livello 2
Supponiamo prima b > a
tg b - tg a = (b - a) (tg(x))'_(x = c) con a < c < b.
La tangente é derivabile in ]-pi/2, pi/2[ ed é continua in ogni intervallo compatto in esso contenuto.
tg b - tg a = (b - a) * 1/cos^2(c)
essendo cos(c) tra - 1 e 1
cos^2(c) <= 1
1/cos^2(c) > 1
e se a < b allora
tg b - tg a >= (b - a) *1
che significa, essendo la tangente sempre crescente,
|tg b - tg a| >= |b - a|.
Se invece a é maggiore di b si trova, ripetendo il ragionamento,
tg a - tg b >= a - b
che equivale ancora a
|tg a - tg b| >= |a - b|
e quindi a
|tg b - tg a| >= |b - a|
perché sotto valore assoluto si può cambiare segno senza conseguenze.
In [0,pi] non si può applicare il teorema di Lagrange perché la tangente
non é continua in x = pi/2 che si trova nell'intervallo.
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Livello 7