Teorema di Rolle

Problema:

La seguente funzione non verifica le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo indicato a fianco. Spiega il perché.

$$f(x)=\sqrt[5]{(x-1)²}$$,   $[0,1]$

Soluzione:

Prima di svolgere il quesito conviene enunciare il teorema.

Thm: Sia $f$ una funzione continua in $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$ tale che $f(a)=f(b)$, allora esiste un punto $c \in (a,b)$ tale che $f'(c)=0$.

In breve: se fai un salto e ricadi al punto di partenza, necessariamente raggiungi un'altezza massima, altrimenti non potresti tornare a terra.

La prima ipotesi di continuità in $[a,b]$ è soddisfatta dato che la radice presenta indice dispari e $[0,1] \subset \mathbb{R} \equiv D_f$.

Si calcola quindi la derivata:

$$f'(x)=\frac{2}{5\sqrt[5]{(x-1)^3}}$$.

Questa funzione esiste per $x-1 \neq 0$, ossia per $x \neq 1$. Poiché l'intervallo di derivabilità è $(0,1)$, la funzione è derivabile in $(a,b)$.

Bisogna verificare l'ultima ipotesi $f(a)=f(b)$.

$f(0)=1$

$f(1)=0$

Poiché $f(0) \neq f(1)$, la terza ipotesi del teorema di Rolle non è soddisfatta.