Teorema di Rolle.

Problema:

Utilizzando il teorema di Rolle, si individui il punto $c$ in $[e^{-2},1]$ di $f(x)=\ln² x+2\ln x+1$.

Soluzione:

Il teorema di Rolle asserisce che per una funzione $f(x)$ continua in un intervallo chiuso e derivabile nel medesimo intervallo aperto, se il valore di essa agli estremi dell'intervallo è medesimo, allora esiste un punto $c$ nell'intervallo aperto tale che la derivata della funzione in tal punto è nulla.

La funzione data rispetta le ipotesi del teorema dato che essa è continua nell'intervallo $[e^{-2},1]$, derivabile in $(e^{-2},1)$ ed è definita in modo tale che $f(e^{-2})=4-4+1=f(1)=0+0+1$. 

Si calcola dunque la derivata $f'(x)=2\frac{1}{x}\ln x+\frac{2}{x}$ e la si pone pari a zero per individuare il punto richiesto: $f'(c)=\frac{2\ln c+2}{c}=0 \rightarrow c \neq 0 \rightarrow \ln c =-1 \rightarrow c=e^{-1}$.

Vediamo se soddisfa le ipotesi di Rolle

Definita in un intervallo chiuso [a, b], nel nostro caso $I = [e^{-2}, 1]$ O.K.

E' continua nell'intervallo chiuso, nel nostro caso è O.K.

E' derivabile nell'intervallo aperto (a, b), nel nostro caso $(e^{-2}, 1)$ O.K.

f(a) = f(b) Vero

Nel nostro caso

$ f(x) = (lnx +1)^2 \; ⇒ \; f'(x) = \frac{2(lnx +1}{x} \; ⇒ \; $

$ \; ⇒ \; f'(x) = 0 \; ⇔ \; lnx = -1 \; ⇔ \; $

$ x = \frac{1}{e} $