[Risolto] TEOREMA DI LAGRANGE.

Problema:

Si trovi il valore che assume $x=c$, applicando il teorema di Lagrange, con le seguenti condizioni:

$f(x)=\ln x$, [1,e]

Soluzione: 

Il teorema di Lagrange asserisce che se una funzione $f$ è continua in [a,b] e derivabile in (a,b), allora esiste almeno un punto $c\in (a,b)$ tale che $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Nel caso in questione si ha che l'intervallo [a,b] corrisponde a [1,e].

Dato che la funzione $f(x)=\ln x$ risulta continua in $\mathbb{R}^+$, dunque anche in [1,e], e la sua derivata $f'(x)=\frac{1}{x}$ in $\mathbb{R}$-{0}, dunque anch'essa in [1,e], è possibile applicare il teorema di Lagrange per determinare il valore di $c$:

$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{1-0}{e-1}=\frac{1}{e-1}$

$\frac{1}{c}=\frac{1}{e-1}$

$c=e-1$.

Verifica delle ipotesi

• f(x) è definita in [1, e]
• f(x) è continua in [1, e]
• f(x) è derivabile in (1, e)

Calcoli preliminari

⊳ f(b) = ln(e) = 1

⊳ f(a) = ln(1) = 0

$⊳ f'(x) = \frac{1}{x} $

Applichiamo il teorema- Esiste c∈[1, e] 

$ \frac {f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c) $

$ \frac {1}{e-1} = \frac {1}{c} $

$ c = e - 1 $