teorema di euclide

Α = 45 cm^2

ΑΗ = 2·x---> ΒΗ = x (testo)

2° teorema di Euclide:

ΗC = ΑΗ^2/(ΒΗ) = 4·x^2/x----> HC=4x

ΒC= ΒΗ + ΗC = x + 4·x = 5·x

A =1/2·5·x·2·x = 45 cm^2----> 5·x^2 = 45----> x = 3 cm

AH=2*3=6cm

BC=5*3=15 cm

AB=√(6^2 + 3^2) = 3·√5 cm

AC=√(6^2 + 12^2) = 6·√5 cm

perimetro=AB+BC+AC=3·√5+15+6·√5 =

=9·√5 + 15 = 35.12461179----perimetro=35.2 cm circa

In un triangolo rettangolo ABC, sia AH l’altezza relativa all’ipotenusa BC. Sapendo che AH è il doppio di BH e che l’aria del triangolo è 45 cm^2, determina il suo perimetro.

==================================================

Proiezione del cateto minore $BH= x;$

altezza $AH= 2x;$

trova la proiezione incognita del cateto maggiore $HC$ applicando il 2° teorema di Euclide:

$HC= \dfrac{AH^2}{BH} = \dfrac{(2x)^2}{x} = \dfrac{4x^\cancel2}{\cancel{x}} = 4x;$

quindi:

ipotenusa $BC = BH+HC = x+4x = 5x;$

conoscendo l'area fai:

$\dfrac{BC·AH}{2} = A$

$\dfrac{5x·2x}{2} = 45$

$\dfrac{\cancel{10}^5x^2}{\cancel2_1} = 45$

$5x^2 = 45$

$x^2 = \dfrac{45}{5}$

$x^2 = 9$

$\sqrt{x^2} = \sqrt9$

$x= 3$

per cui risulta:

proiezione del cateto minore $BH= x = 3\,cm;$

altezza $AH= 2x = 2×3 = 6\,cm;$

proiezione cateto maggiore $HC= 4x = 4×3 = 12\,cm;$

ipotenusa $BC = x+4x = 5x = 5×3 = 15\,cm;$

ora con il 1° teorema di Euclide puoi calcolare i due cateti:

cateto minore $AB= \sqrt{BH·BC} = \sqrt{3×15} \approx{6,708}\,cm;$

cateto maggiore $AC= \sqrt{HC·BC} = \sqrt{12×15} \approx{13,416}\,cm;$  

perimetro $2p= 15+6,708+13,416  \approx{35,12}\,cm.$

  

in un triangolo rettangolo ABC, sia AH = h l’altezza relativa all’ipotenusa BC; sapendo che AH è il doppio di BH= p1 e che l’area del triangolo A è 45cm^2, determina il suo perimetro 2p

BH = h/2

h^2 = h/2*p2

p2 = h^2 / (h/2) = 2h (Euclide 2°)

ipotenusa BC = p1+p2 = h/2+2h = 2,5h 

doppia area 2A = 45*2 = i*h = 2,5h*h = 2,5h^2

altezza h = √90/2,5 = 6,0 cm

ipotenusa i = 6*2,5 = 15 cm

cateto c1 = √i*p1 = √15*3 = 3√5 cm (Euclide 1°)

cateto c2 = √i*p2 = √15*12 = 6√5 cm (Euclide 1°)

perimetro 2p = i+c1+c2 = 15+9√5 = 3√5(√5+3) cm (35,12)