Teorema di de l'Hopital

Question

[attach]120678[/attach] Spiegare gentilmente i ragionamenti, i passaggi e argomentare.

cmc · Accepted Answer

displaystyle  lim _{x  to 0} (e^x+x)^{ frac {1}{x}} =$   forma indeterminata del tipo $1^{ infty } esprimiamola con l'identità logaritmica $ =  displaystyle  lim _{x  to 0} e^{ frac {ln(e^x+x)}{x}} $      forma indeterminata del tipo  frac {0}{0} per la continuità della funzione esponenziale $ = e^{ displaystyle  lim _{x  to 0}  frac {ln(e^x+x)}{x} }= (*) $   Risolviamo, a parte, il limite con l'Hôpital  $  displaystyle  lim _{x  to 0}  frac {ln(e^x+x)}{x}  $ forma indeterminata del tipo  frac {0}{0}   Siamo nelle condizioni di poter applicare de l'Hôpital $=  displaystyle  lim _{x  to 0}  frac { e^x +1}{e^x+x} = 2 $    (*) $= e^2 $

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Domande