Teorema di de l'Hopital

$\displaystyle\lim_{x \to 2} [ln(x-1)]^{x-2} =$   forma indeterminata del tipo 0º

esprimiamola con l'identità logaritmica

$ = \displaystyle\lim_{x \to 2} e^{ln[ln(x-1)]^{x-2}} = \displaystyle\lim_{x \to 2} e^{(x-2) \cdot ln[ln(x-1)]} = $

per la continuità della funzione esponenziale

$ = e^{\displaystyle\lim_{x \to 2} (x-2)\cdot ln[ln(x-1)]} = (*) $

Risolviamo a parte il limite 

$ \displaystyle\lim_{x \to 2} (x-2) \cdot ln[ln(x-1)] = $ forma indeterminata del tipo 0*∞

$= \displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{ ln[ln(x-1)]}{\frac{1}{x-2}} $ forma indeterminata del tipo ∞/∞

Siamo nelle condizioni di poter applicare de l'Hôpital

$= \displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{ -1}{(x-1)ln(x-1) \frac{1}{(x-2)^2}} $ 

$= \displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{ -(x-2)^2}{(x-1)ln(x-1)} $ forma indeterminata del tipo 0/0

Siamo nelle condizioni di poter applicare de l'Hôpital

$= \displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{ -2(x-2)}{ln(x-1)+1} = 0 $ 

(*) $= e^0 = 1$