Teorema di de l'Hopital

e^(- 1/COS(x))/TAN(x)

N(x) = e^(- 1/COS(x))

D(x) =TAN(x)

LIM(e^(- 1/COS(x))) = +∞

x → (pi/2)+

(essendo:

LIM (COS(x)) =0-

x → (pi/2)+

LIM(TAN(x)) = -∞

x----> (pi/2)+

Quindi il limite richiesto ha forma indeterminata (+∞/-∞)

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N'(x)=- e^(- 1/COS(x))·SIN(x)/COS(x)^2

D'(x)=1/COS(x)^2

Quindi:

N'(x)/D'(x)=- e^(- 1/COS(x))·SIN(x)

Essendo:

LIM(SIN(x)) = 1

x--->( pi/2)+

si ha:

LIM(- e^(- 1/COS(x))·SIN(x)) =-∞

x---> (pi/2)+

che costituisce pertanto il limite del rapporto richiesto.

e^[- 1/ (cos π/2)] = e^[- 1/0] = - ∞;

tan(π/2+) = + ∞; forma indeterminata  - ∞ / + ∞;

facciamo le derivate;

il limite del rapporto delle due derivate f'(x) / g'(x)  è uguale al limite del rapporto delle due funzioni f(x) / g(x).

f'(x) = e^[- 1/cos(x)] * [ 0 - (- 1) * (- senx)] / (cos x)^2 =

= e^[- 1/cos(x)] * [- (sen x) / (cos x)^2]  = - (sen x) * e^[- 1/cos(x)] / (cos x)^2

g'(x) = D(tanx) = 1 / (cos x)^2;

f'(x) / g'(x) = {- (sen x) * e^[- 1/cos(x)] / (cos x)^2} * [cos x]^2;

f'(x) / g'(x) = - (sen x) * e^[- 1/cos(x)];

 sen( π/2) =  1;

- e^[- 1/cos( π/2)] = - ∞.

f(x) / g(x) tende a  - ∞.

@alby  ciao.