Teorema di Cauchy

Ipotesi del teorema di Cauchy

i) f(x), g(x) continue in [-2, -1]   O.K.

ii) f(x), g(x) derivabili in (-2, -1)   O.K.

iii) g'(x) = 2x - 4 ≠ 0 per ogni x∈(a, b)  O.K. 

allora $ \exists c \in (a, b) \; t.\, c. \;  \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$.

nel nostro caso

• f(-1) = 0;  f(-2) = -7;     f'(x) = 2x^2
• g(-1) = 5; g(-2) = 12;    g'(x) = 2x-4

$\frac{f(-1)-f(-2)}{g(-1)-g(-2)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} $

$\frac{7}{-7} = \frac{3c^2}{2c-4} $

$ 4-2c = 3c^2  \; \implies \;3c ^2+2c-4 = 0 $   due soluzioni

1. $ c = \frac{-1+\sqrt{13}}{3}$  da scartare essendo fuori intervallo 
2. $ c = \frac{-1-\sqrt{13}}{3}$   O.K.

Le ipotesi del teorema di Cauchy sono verificate nell'intervallo -2 ≤ x ≤ -1

f(x) = x^3 + 1----> f'=3·x^2

g(x) = x^2 - 4·x----> g' = 2·x - 4

g(-1) = (-1)^2 - 4·(-1) = 5

g(-2) = (-2)^2 - 4·(-2) = 12

f(-1) = (-1)^3 + 1 = 0

f(-2) = (-2)^3 + 1 = -7

3·x^2/(2·x - 4) = (0 +7)/(5 - 12)

3·x^2/(2·(x - 2)) = -1

3·x^2 = - 2·(x - 2)

3·x^2 + 2·(x - 2) = 0---> 3·x^2 + 2·x - 4 = 0

Soluzione:

{3·x^2 + 2·x - 4 = 0

{-2 ≤ x ≤ -1

quindi equazione di secondo grado ha soluzione:

x = - (√13 + 1)/3 ∨ x = (√13 - 1)/3

(x = -1.535183758 ∨ x = 0.8685170918)

Bisogna prendere quella in grassetto!!

https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Cauchy_(analisi_matematica)

ciao