[Risolto] Teorema del confronto

Teorema del confronto o dei due carabinieri. Determiniamo le due disequazioni atte alla risposta

(i due carabinieri) notando che le due funzioni trigo hanno come valore minimo -1 e come valore massimo +1.

(x-1)/(x+1) ≤ (x+cosx)/(x+sinx) ≤ (x+1)/(x-1)

NB. Per minimizzare la funzione abbiamo scelto il valore che rende minimo il numeratore quindi x-1 e massimo il denominatore quindi x+1. Analogamente per il carabinoiere che massimizza la funzione.

Calcoliamo i limiti dei carabinieri

• lim(x→+∞)(x-1)/(x+1) = lim(x→+∞)(1-1/x)/(1+1/x) = 1

ho divido il numeratore e il denominatore per x. Analogamente

• lim(x→+∞)(x+1)/(x-1) = lim(x→+∞)(1+1/x)/(1-1/x) = 1

  I due carabinieri convergono entrambi a 1 quindi per il teorema del confronto la funzione data deve convergere a 1.

lim(x→+∞)(x+cosx)/(x+sinx) = 1