[Risolto] Teorema dei seni

Questo é semplice.

Per il teorema dei seni risulta

AB/sin(2b) = AC/sin(b) = BC/sin(P^-2b-b) = BC/sin(3b)

perché seni di angoli supplementari sono uguali.

Ponendo allora provvisoriamente AB = x

AC = x sin(b)/sin(2b) = x sin(b)/[2 sin(b) cos(b)] = x/(2*3/4) = x : 3/2 = 2/3 x

BC = AC sin(3b)/sin(b).

Ora sviluppiamo

sin(3b) = sin(2b + b) = sin(2b) cos(b) + cos(2b) sin b =

= 2 sin(b) cos^2(b) + sin(b) (cos^2(b) - sin^2(b))

e quindi

sin(3b)/sin(b) = 2 cos^2(b) + cos^2(b) - 1 + cos^2(b) =

= 4 cos^2(b) - 1 = 4*(3/4)^2 - 1 = 4*9/16 - 1 = 9/4 - 1 = 5/4

e dunque BC = 2/3 x * 5/4 = 5/6 x

Da qui risulta subito

x + 2/3 x + 5/6 x = 15 a

6x + 4x + 5x = 90 a

x = 90/15 a = 6 a e le misure dei lati sono allora

AB = 6a, AC = 2/3 * 6a = 4a e BC = 5/6* 6a = 5a.

angolo β = arccos 3/4 = 41,4096°

sin β = 0,6614

sin 2β = 0,9922

angolo Θ = (180°-3β) = 55,7712°

sin Θ = 0,8268

Σ = seni = 0,6614+0,9922+0,8268 = 2,4804

lato a = 15a*0,6614/2,4804 = 4,000a 

lato b =  15a*0,9922/2,4804 = 6,000a

lato c = 15a*0,8268/2,4804 = 5,000a

Dati:

COS(β) = 3/4

15·η = a + b + c

(messo η al posto di a per distinguerlo dal lato a)

γ = 2·β

Incognite : a , b , c

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Risoluzione:

SIN(β) = √(1 - COS(β)^2) 

SIN(β) = √(1 - (3/4)^2)-----> SIN(β) = √7/4

SIN(2·β) = 2·SIN(β)·COS(β)

SIN(2·β) = 2·(√7/4)·(3/4)

SIN(γ) = 3·√7/8

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SIN(α) = SIN(pi - (β + γ))---> SIN(α) = SIN(β + γ)

SIN(β + γ) = SIN(β)·COS(γ) + SIN(γ)·COS(β)

con COS(γ) = √(1 - SIN(γ)^2) si ha:

COS(γ) = √(1 - (3·√7/8)^2)----> COS(γ) = 1/8

SIN(α) = √7/4·(1/8) + 3·√7/8·(3/4)

SIN(α) = √7/32 + 9·√7/32

SIN(α) = 5·√7/16

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Th seni applicato al triangolo dato:

a/SIN(α) = b/SIN(β) = c/SIN(γ)

a/(5·√7/16) = b/(√7/4) = c/(3·√7/8)

16·√7·a/35 = 4·√7·b/7 = 8·√7·c/21

Abbiamo quindi un sistema di tre incognite nel parametro η

{a/15 + b/15 + c/15 = η

{16·√7·a/35 = 4·√7·b/7

{16·√7·a/35 = 8·√7·c/21

che risolto fornisce:

[a = 5·η ∧ b = 4·η ∧ c = 6·η]