Un'autocisterna viene riempita di notte, quando la temperatura è di 8°C, con della benzina, fino ai 4/5 della sua capacità. L'autocisterna é schematizzabile come un cilindro di altezza 15,0m e sezione 3.375 m^2. Durante il viaggio. Il sole scalda la benzina fino a 26°C
a) calcola il volume occupato dalla benzina durante il viaggio
b) calcola la variazione percentuale di volume
c) calcola la temperatura massima a cui si dovrebbe essere sottoposta la benzina per occupare tutta la cisterna
50
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Livello 1
DATI
Lunghezza cisterna h=15,0m
Sezione cisterna: $A_b=3,375m^2$
Temperatura iniziale: $T_0=8°C$
Temperatura finale: $T=28°C$
Coefficiente di dilatazione volumetrica= $\alpha =1,0 \cdot 10^{-3}$ $°C^{-1}$
Volume iniziale: $V_0= \frac{4}{5} V_{tot}$
INCOGNITE
Volume finale: V=?
Variazione percentuale di volume: $\frac{\Delta V}{\Delta _i} =?$
Temperatura massima per riempire la cisterna: $T_{max}=?$
La benzina nella cisterna subisce una dilatazione volumica: ecco perché il suo volume iniziale deve essere minore del volume della cisterna. Per trovare a quale temperatura la benzina riempirebbe completamente la cisterna, applichiamo la formula inversa della dilatazione volumica, utilizzando come volume finale quello massimo relativo alla capacità della cisterna $V_{tot*}$
Calcolo il volume iniziale $V_i$.
Dai dati sappiamo che $V_i$ è i $\frac{4}{5} $ di $V_{tot}$ perciò ricaviamo
$$V_{tot}=A_b \times h = 3,375m^2 \times 15,0m=50,6m^2$$
Il volume iniziale occupato dalla benzina alla temperatura di 8°C è quindi
$$V_i=\frac{4}{5} V_tot= \frac{4}{5} x 50,6m^3=40,5m^3$$
Applico la legge di dilatazione volumica diretta per trovare il volume V occupato dalla benzina durante il viaggio, e quindi la variazione percentuale di volume.
La benzina viene sottoposta a una variazione termica ΔT = (26 – 8) °C = 18 °C; in seguito a questa variazione, la benzina occuperà un volume
$$V = V_i (1 + αΔT) = (40,5 m^3 ) × (1 + 1,0 × 10^−3 °C^-1 × 18°C) = 41,2 m^3$$
La variazione percentuale di volume è quindi:
$$\frac{\Delta V}{\Delta _i} = \frac{V-V_i}{V_i} =\frac{(41,2-40,5)m^3}{40,5m^3} =0,02=2%$$
Applico la legge di dilatazione volumica inversa per trovare la temperatura massima
$$\Delta t=\frac{\Delta V}{V_i \alpha } =\frac{V_{tot}-V_0}{V_i\alpha } =\frac{(50,6-40,5)m^3}{(40,5m^3)\times (1,0\times 10^{-3}°C^{-1})} =250°C$$
La temperatura che dovrebbe raggiungere la cisterna è data da:
$$t=t_0+\Delta t=260°C$$
La temperatura trovata è molto maggiore della temperatura raggiungibile da una cisterna in condizioni normali. Inoltre, a tale temperatura la benzina non è più liquida: la cisterna dunque non si può riempire completamente con quella quantità di benzina.
904
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Livello 2
