Determina le coordinate dei punti $A$ e $B\left(\operatorname{con} x_A<x_B\right)$ in cui la circonferenza di equazione $x^2+y^2-4 x-2 y+3=0$ interseca l'asse $x$ e scrivi le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza in questi punti. Indicato con $C$ il punto d'intersezione di tali tangenti, determina l'area del triangolo $A B C$.
$$
[A(1,0), B(3,0) ; y=1-x, y=x-3 ; C(2,-1) ; \text { Area }=1]
$$
11881
punti
Livello 2
Ma non li avevi già postati?
{x^2 + y^2 - 4·x - 2·y + 3 = 0
{y = 0
Risolvi: [x = 1 ∧ y = 0, x = 3 ∧ y = 0]
[1, 0] punto A
[3, 0] punto B
Formule di sdoppiamento:
1·x + 0·y - 4·(1 + x)/2 - 2·(0 + y)/2 + 3 = 0
-x - y + 1 = 0---> y = 1 - x
3·x + 0 - 4·(3 + x)/2 - 2·(0 + y)/2 + 3 = 0
x - y - 3 = 0---> y = x - 3
Quindi C:
{y = 1 - x
{y = x - 3
risolvi: [x = 2 ∧ y = -1]
Α = 1/2·(3 - 1)·1---> Α = 1
115485
punti
Genius III
@lucianop 👍👌👍
La circonferenza
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 4*x - 2*y + 3 = 0 ≡ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 2
induce, fra i punti e le rette del piano, una polarità nella quale al polo P(u, v) corrisponde la retta polare p
* p ≡ u*x + v*y - 2*(u + x)/2 - 2*(v + y)/2 + 3 = 0 ≡
≡ (u - 1)*x + (v - 1)*y - (u + v - 3) = 0
------------------------------
* (y = 0) & ((x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 2) ≡
≡ A(1, 0) oppure B(3, 0)
L'area S del triangolo ABC è il semiprodotto della distanza fra A e B col modulo dell'ordinata di C
* S = |AB|*|yC|/2 = 2*|yC|/2 = |yC|
dove C è l'intersezione fra le polari di A e B
* ((1 - 1)*x + (0 - 1)*y - (1 + 0 - 3) = 0) & ((3 - 1)*x + (0 - 1)*y - (3 + 0 - 3) = 0) ≡
≡ C(1, 2)
da cui
* S = |yC| = 2
57798
punti
Genius I
